Che l’infinito occupi un posto essenziale, per non dire preponderante,nelle scienze matematiche è affermazione pacifica, al punto che si può affer-mare che la nascita della matematica coincida con l’ingresso nel pensiero clas-sico dei processi e dei metodi infiniti.

Cionondimeno, lo studio dell’infinito in quanto tale è tutto sommatorecente, e non si afferma che alla fine del secolo scorso. Nei duemila anni cheseparano la nascita della geometria greca dalle profonde intuizioni di Cantor,la trattazione matematica dell’infinitamente grande non fa registrare che pro-gressi modesti, quasi che l’immensità dell’oggetto valga a precludere ogni suaanalisi approfondita. Così chi voglia studiare la storia dell’infinito matematicodovrà rivolgersi piuttosto alla sua immagine speculare, ed indagare l’evoluzio-ne dei temi e delle teorie legate all’infinitamente piccolo.

Tra esse, un posto particolare spetta alle dottrine del continuo, soprattuttoa causa del ruolo centrale di quest’ultimo, quasi un ponte gettato tra la geome-tria, scienza del continuo per definizione, e la filosofia naturale, che nella com-posizione del continuo trova uno dei temi più dibattuti.

A dispetto della sua importanza, in matematica non meno che nella filo-sofia, si cercherebbe invano negli scritti dei geometri dall’antichità al secoloXVII una teoria soddisfacente o anche soltanto una definizione precisa delcontinuo, che invece è assunto come un dato immediato le cui proprietà, lungidall’essere enunciate esplicitamente, sono piuttosto evocate e messe all’opera,quando è il caso, anche nel corso di una dimostrazione.

Il rapporto tra teorie geometriche e struttura del continuo va in sensocontrario alla successione logica: la discussione delle proprietà del continuonon precede, come sarebbe logico e lecito attendersi, la formulazione e lo svi-luppo delle teorie geometriche delle quali esso costituisce per così dire lamateria. Al contrario, il continuo è piuttosto un risultato finale, un sottopro-dotto, della geometria; un risultato peraltro che non è quasi mai esplicito, eche è piuttosto suggerito che enunciato, meno che mai dimostrato.

In altre parole, quella del continuo non è una scienza, una teoria, sullaquale si possa fondare la geometria; ma piuttosto un’immagine che si formanella rpente del geometra alla fine delle sue elucubrazioni; immagine co-struita pezzo a pezzo mediante le proprietà che al continuo si sono attribuitenel corso delle dimostrazioni, e che vengono via via a modificare immaginiprecedenti.

La geometria genera immagini del continuo; e così ai cambiamenti dipunti di vista in geometria corrisponderanno analoghe revisioni della nozionedi continuità, in modo che i periodi di grande attività creatrice come il XVIIsecolo, sono anche caratterizzati da una forte instabilità fondazionale; periodiin cui nuove immagini del continuo sono create, modificate, e infine rimpiaz-zate da altre immagini, non più fondate queste ultime, o meno arbitrarie, diquelle che le hanno precedute.

Scopo di questa mia relazione è di portare alla luce alcune di queste teoriesommerse, e di ripercorrerne lo sviluppo nel secolo XVII, in particolare inrelazione all’opera matematica di Leibniz. Senza peraltro dimenticare che se ifatti e le scoperte che in questo grande secolo hanno cambiato il volto dellageometria – la geometria analitica, il calcolo – sono ben noti e sotto gli occhidi tutti, le teorie del continuo che ad esse soggiacciono sono riposte e taloracontraddittorie; di più, esse non trovano che di rado un’enunciazione esplicita,ma devono essere estratte non senza pena da scritti non sempre di agevole eunivoca interpretazione.

Di un tale stato di cose questo intervento, immagine di immagini, nonpotrà non risentire.

1. L’eredità classica

La nozione matematica di continuo che il XVII secolo riceve dall’antichi-tà classica è quella risultante dalla teoria eudossiana delle proporzioni, quale ècodificata nel quinto libro degli Elementi di Euclide.

Anche se applicabile ad ogni specie di grandezze, sia cioè a quelle conti-nue che a quelle discrete (numeri), la teoria delle proporzioni è con ogni evi-denza modellata sulle grandezze continue, ed in particolare su quelle geometri-che (segmenti, figure piane e solide) che le aporie pitagoriche dell’incommen-surabilità impedivano di trattare numericamente, associando cioè ad ognigrandezza la sua misura.

La teoria eudossiana si fonda sulla nozione di rapporto (λόγος) tra gran-dezze omogenee, e più ancora su quella di proporzione (ἀναλογία), o ugua-glianza di rapporti, introdotta nella quinta definizione del quinto libro degliElementi:

Si dice che quattro grandezze hanno lo stesso rapporto, la prima allaseconda come la terza alla quarta, quando presi equimultipli della prima e del-la terza secondo qualsivoglia numero, ed equimultipli della seconda e dellaquarta secondo qualsivoglia numero, se il multiplo della prima è maggiore diquello della seconda, anche il multiplo della terza sarà maggiore di quello del-la quarta; se uguale, uguale; se minore, minoreEuclide, Elementi, Libro V, Definizione 5. Mi sono discostato, qui come altrove, dallatraduzione italiana degli Elementi, a cura di A. Frajese e L. Maccioni, Torino 1980, ed ho preferi-to tradurre direttamente dal testo greco..

Come si vede, abbiamo una definizione complessa, solo un poco chiaritada quella successiva di rapporti disugualiIn un certo senso, quest’ultima definizione precede l’altra: la proporzionalità, ovverol’uguaglianza dei rapporti, è una caratteristica per cosi dire negativa, che si dimostrerà soloescludendo successivamente che l’uno dei due rapporti sia maggiore dell’altro. Di qui trae origi-ne il metodo di esaustione, usato per la determinazione delle aree delle figure piane e dei volu-mi delle solide.:

Se poi, degli equimultipli, il multiplo della prima supererà quello dellaseconda, ma il multiplo della terza non sarà maggiore di quello della quarta,allora si dirà che il rapporto della prima alla seconda è maggiore di quellodella terza alla quarta.

La teoria delle proporzioni non tratta esplicitamente delle grandezze inquanto tali, se non per precisare alcuni termini come multiplo e sottomultiplo.Essa, come è stato più volte osservato, è una teorìa dei rapporti e non dellegrandezze. Quest’ultima teoria è per così dire presupposta, e il lettore chevoglia approfondirne le nozioni fondamentali, in particolare quella di grandez-za continua, dovrà cercarle altrove.

Di opere relative al problema della continuità precedenti la sistemazioneeudossiana delle proporzioni non ci è pervenuta notizia; e per averne una trat-tazione abbastanza esauriente dovremo rivolgerci alle opere di Aristotele. Lostagirita è perfettamente al corrente della teoria delle proporzioni, e probabil-mente modella su di essa la sua analisi del continuo. Quanto meno, la teoriaaristotelica è compatibile con quella eudossiana, della quale costituisce il natu-rale prerequisito.

Aristotele distingue tre tipi di grandezze, a seconda dell’accoppiamentotra le loro parti. In primo luogo la grandezza discreta, le cui parti si susseguo-no consecutivamente senza che tra di esse vi sia alcunché di simile, pur nonescludendo la possibilità che tra esse siano intercalati altri oggetti eterogenei.Così ad esempio tra due linee consecutive potremo trovare uno spazio, ma nonuna linea; e tra due case consecutive un prato, ma non una casa:

Il consecutivo… è ciò che non presenta alcun intermedio dello stesso suogenere tra sé stesso e quello di cui è consecutivo (dico ad esempio, che non visiano una linea o più linee dopo la linea, una unità o più unità dopo l’unità,ovvero una casa dopo una casa; nulla però impedisce che vi sia in mezzo qual-cosa di altro genere)Phys. V. 3.227a..

Tra le grandezze consecutive saranno contigue quelle le cui estremità (omeglio le estremità delle cui parti) sono in contatto; e tra queste saranno con-tinue quelle i cui estremi coincidono:

Contiguo è ciò che, oltre ad essere consecutivo, è anche in contatto.

Il continuo è una determinazione del contiguo, ed io dico che c’è conti-nuità quando i limiti di due cose, mediante i quali l’una e l’altra si toccano,diventano uno solo e il medesimo e, come dice la parola stessa, si tengonoinsieme. Questo però non può verificarsi quando gli estremi sono due. Tenen-do conto di questa precisazione, risulta chiaro che il continuo è in quelle coseda cui per natura vien fuori qualcosa di unico in virtù del contattoPhys. V. 3.227a..

In conclusione:

continue sono le cose le cui estremità sono una sola cosa, sono in contat-to quelle le cui estremità sono insieme, e consecutive quelle in mezzo a cuinon c’è nulla di affinePhys. VI. 1.231a..

Una conseguenza di questa definizione di continuità è che una grandezzacontinua è sempre divisibile in parti omogenee, a loro volta ancora divisibili;in altre parole, un continuo non può essere composto di parti ultime indivisi-bili. A sostegno di questa tesi Aristotele porta due argomenti. Il primo è che

un indivisibile non ha né estremità né qualche altra parte, né le estremitàsono simultanee, perché non c’è nessuna estremità di ciò che è privo di par-tiPhys. VI. 1.213a..

Il secondo argomento riguarda il modo in cui gli indivisibili costituenti ilcontinuo dovrebbero congiungersi tra loro. Infatti

poiché l’indivisibile è privo di parti, necessariamente esso dovrebbe esserein contatto come intero con un intero: ma un intero che è in contatto con unintero non sarà continuoPhys. VI. 1.231b..

In sostanza, due indivisibili successivi, dovendo essere in contatto comeun tutto, dovrebbero necessariamente coincidere e dunque si ridurrebbero aduno solo. Al di là del suo ruolo nella teoria del continuo aristotelico, il ragio-namento è interessante perché svela un tratto caratteristico e costante delleidee sulla composizione del continuo, e cioè che l’insieme degli indivisibili (siaquando questi sono considerati come componenti ultime del continuo, siaquando essi sono evocati solo per negarne l’esistenza) sia un insieme ben ordi-nato, nel quale ogni indivisibile segue il suo predecessore secondo l’ordinenaturaleVarrà la pena di notare come una tale assunzione soggiaccia alle interminabili discus-sioni sul «primo istante del moto»; come ad esempio se un grave cadente dalla quiete debbapassare o meno per tutti i gradi di velocità.. Un tale presupposto è evidentemente incompatibile, come mostraAristotele, con un continuo di indivisibili. Non resta allora che assumere ladivisibilità indefinita del continuo; una conclusione che, superando le aporiepitagoriche degli irrazionali, rende il continuo aristotelico particolarmenteadatto a fondare la teoria delle proporzioni. Le due costruzioni risultano cosìcomplementari l’una dell’altra, di modo che chi voglia opporsi ad una di essesi vedrà obbligato a negare anche l’altra, o almeno a recidere i legami tra ledue. È quanto, per opposte ragioni, tenteranno di fare Galileo e Cavalieri.

2. Tensioni dello schema classico: Galileo e Cavalieri

Le pagine che, nella prima giornata dei Discorsi, Galileo dedica al proble-ma del continuo mirano soprattutto a dimostrare la composizione atomica del-la materia, e dunque si oppongono direttamente alle argomentazioni aristoteli-che che ne dimostravano l’impossibilità. E dato che quest’ultima seguivaimmediatamente dalla stessa definizione di grandezza continua, è in primo luo-go con questa che Galileo deve confrontarsi.

Ciò non vuol dire che Galileo proponga una sua propria definizione alposto di quella di Aristotele, men che mai che egli sostituisca la teoria aristote-lica del continuo con una teoria galileiana; al contrario, egli assume il conti-nuo come un dato immediato, identificandolo di fatto con la retta geometrica.In altre parole, egli rimpiazza una teoria con un’immagine.

La linea d’attacco di Galileo si snoda lungo la distinzione aristotelica traatto e potenza. Alla domanda se le parti del continuo siano finite o infinite,Simplicio risponde accettando ambedue i corni del dilemma: esse sono finitein atto ed infinite in potenza. Galileo rifiuta questa distinzione ed argomentache essendo sempre divisibile, il continuo deve essere costituito di parti infini-te. Queste non potranno essere quante, cioè avere grandezza finita, perché altri-menti darebbero luogo ad un’estensione infinita: ne segue che il continuo ècomposto di infinite parti non quante, dunque indivisibili;

chiamateli poi in atto o in potenza, come più vi piace, ché io, Sig. Simpli-cio, in questo particolare mi rimetto al vostro arbitrio e giudizioDiscorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno a due Nuove Scienze. Opere di G. Galilei, Firenze1968, vol. VIII, p. 81..

In realtà tutta l’argomentazione si basa su uno slittamento semantico:dove Aristotele dice semplicemente parti, Galileo intende parti ultime. Unavolta accettata questa interpretazione, è chiaro che le parti galileiane nonpotranno che essere indivisibili (perché altrimenti non sarebbero ultime) edinfinite (pena la ricaduta nei paradossi dell’incommensurabilità).

A questo punto Galileo non può esimersi dall’affrontare un altro proble-ma: se il continuo è composto di infiniti indivisibili, come è possibile confron-tare due continui tra di loro, ad esempio dire quando una linea è maggiore diun’altra? Sarebbe dunque possibile paragonare due infiniti, contro quantoafferma esplicitamente la teoria delle proporzioni?

Come è noto, la risposta di Galileo è negativa: tra gli infiniti non c’èrelazione d’ordine, non si può affermare che un infinito sia maggiore o minore(e nemmeno uguale) di un altro. A sostegno della sua tesi, egli porta il celebreesempio dei numeri e dei loro quadrati: da un lato ci sono più numeri chequadrati, dato che ci sono infiniti numeri che non sono dei quadrati; dall’altroessi sono uguali, poiché a ogni quadrato corrisponde la sua radice. Il paradossoche ne consegue si può superare solo con la rinuncia al confronto tra infiniti:

Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infinitiessere tutti i numeri, infinite le loro radici, né la moltitudine de’ quadrati esserminore di quella di tutti i numeri, né questa maggior di quella, ed in ultimaconclusione, gli attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl’in-finiti, ma solo nelle quantità terminateIvi, p. 79..

In conclusione, Galileo afferma da una parte che il continuo si componedi indivisibili, una tale composizione essendo una condizione necessaria per ladivisibilità indefinita; ma per contro nega che ciò possa avere delle conseguen-ze sulla teoria matematica dei rapporti, poiché gli indivisibili, essendo infiniti,non sono grandezze che hanno rapporto tra loro.

E però quando il Sig. Simplicio mi propone più linee diseguali, e midomanda come possa essere che nelle maggiori non siano più punti che nelleminori, io gli rispondo che non ve ne sono né più né manco né altrettanti, main ciascheduna infinitiIbidem..

Una conseguenza di questo atteggiamento è la separazione della matema-tica dalla fisica: i continui sono sì composti di infinite parti indivisibili, ma ciòè irrilevante per quanto riguarda le loro proprietà matematiche (in particolarela loro misura) che traggono origine non dalla loro composizione ultima, masolo dall’infinita divisibilità che da questa deriva.

Una posizione simmetrica, e in un certo senso opposta, è quella di Cava-lieri, che pure di Galileo fu uno dei discepoli più dotati, e la cui opera princi-pale, la Geometria degli indivisibiliGeometria Indivisibilium Continuorum Nova quadam ratione promota, Bologna 1635. Una secon-da edizione fu pubblicata a Bologna nel 1653; una traduzione italiana, Geometria degli Indivisibili, acura di L. Lombardo Radice, Torino 1966, contiene anche la traduzione dell’Esercitazione III(contro Guldino) e una scelta di lettere. Sull’opera di Cavalieri, oltre al saggio di LombardoRadice preposto alla traduzione sopra menzionata, si veda E. Giusti, Bonaventura Cavalieri and theTheory of Indivisibles, Bologna 1980, come anche K. Andersen, Cavalieri’s Method of Indivisibles, «Ar-chive for History of Exact Sciences», 31 (1985), pp. 291-367., mostra evidenti correlazioni e dipendenzedal pensiero galileiano.

L’idea centrale dell’opera cavalieriana è che ci si possa servire del rappor-to tra gli indivisibili di due figure geometriche per dedurne il rapporto tra lefigure stesse, evitando in tal modo le lungaggini del metodo classico di esau-stione, senza peraltro rinunciare al rigore geometrico della teoria delle propor-zioni.

Cavalieri si trova dunque ad affermare ciò che Galileo aveva negato, ecioè la possibilità di paragonare tra loro gli indivisibili di due grandezze. Perfar ciò egli deve contestare, o quanto meno attenuare, il carattere infinito degliindivisibili, cosa che altrimenti li avrebbe ipso facto esclusi dalla classe dellegrandezze aventi proporzione. A questo scopo Cavalieri distingue due tipi diinfiniti: quelli assoluti, che non possono essere comparati tra loro, e altri, tra iquali egli annovera gli indivisibili, che pur essendo infiniti in numero, sonotuttavia finiti per altri versi, e dunque confrontabili tra loro.

Propter quod innuendum mihi videtur, dum considero omnes lineas, velomnia plana alicuius figurae, me non numerum ipsarum comparare, quemignoramus, sed tantum magnitudinem, quae adaequatur spatio ab eisdem lineisoccupato, cum illi congruat, & quoniam illud spatium terminis comprehendi-tur, ideo & eorum magnitudo est terminis eisdem comprehensa, quapropter illipotest fieri additio, vel subtractio, licet numerum eorundem ignoremus; quodsufficere dico, ut illa sint ad invicem comparabilia, alioquin neque ipsa spatiafigurarum essent ad invicem comparabiliaGeometria, cit., libro II, p. 111..

In altre parole, Cavalieri non si interessa al numero, infinito, degli indivi-sibili di una figura, ma alla loro totalità intesa come un oggetto unico, distintodalla figura ma in un certo senso congruente con essa, e da questo punto divista con quella avente in comune una proprietà di finitezza.

A questa nuova classe di grandezze – tutte le linee delle figure piane, tuttii piani di quelle solide – egli potrà allora applicare le regole della teoria delleproporzioni, e dedurre il rapporto tra figure da quello tra i loro indivisibili:

Figurae planae habent inter se eandem rationem, quam eorum omneslineae iuxta quamvis regulam assumptae; Et figurae solidae, quam eorumomnia plana iuxta quamvis regulam assumptaIvi, p. 113..

Si potranno allora evitare i laboriosi meccanismi propri del metodod’esaustione, e calcolare direttamente la misura delle figure piane e solide,beninteso a prezzo di una certa oscurità della teoria, che esattamente nel pas-saggio dal rapporto tra gli indivisibili e quello delle figure relative mostra lesue debolezze. Ma non è questo che ci interessa in questa sede, quanto invecele conseguenze che la teoria cavalieriana degli indivisibili ha sulle sue ideerelative alla composizione del continuo, per molti versi opposte a quelle gali-leiane.

Galileo aveva proposto l’immagine di un continuo frantumato, infinita-mente divisibile perché infinitamente diviso; un continuo atomico del qualenon si davano relazioni quantitative. Cavalieri, che esattamente tali relazionivuole stabilire, indietreggia davanti alle implicazioni filosofiche della sua teo-ria, e rinuncia a vedere nei suoi indivisibili le costituenti ultime delle figureche egli voleva misurareSi veda ad esempio la lettera di Cavalieri a Galileo, Bologna 28 giugno 1639 (Opere diGalilei, XVIII, p. 67): «Io non ardii di dire che il continuo fosse composto di quelli (indivisi-bili), ma mostrai bene che fra continui non vi era altra proportione che della congerie degl’indi-visibili»..

Nei due casi il rifiuto (meglio: l’impossibilità) di intraprendere una revi-sione globale della teoria del continuo, sia dal punto di vista delle matemati-che che da quello della filosofia, ha come conseguenza la separazione dei dueconcetti: il continuo fisico e quello matematico si pongono su piani differentie non comunicanti.

3. Il continuo algebrico: Viète e Descartes

Le idee di Galileo e di Cavalieri, pur con la loro carica innovativa, sisituano ancora in un universo classico, ed hanno come referenti naturali leteorie del continuo di Eudosso e di Aristotele ed il pensiero geometrico diEuclide e di Archimede.

C’è d’altra parte una diversa corrente del pensiero matematico, che nonignora certo la rigorosa lezione della geometria, ma che a questa preferisce lageneralità dell’algebra.

Contrariamente alla geometria classica, che aveva relegato il numero inuna posizione nettamente subordinata ed aveva preferito trattare direttamentele grandezze e i loro rapporti, l’algebra è interamente fondata sui numeri.All’affermazione del punto di vista algebrico avevano contribuito vari fattori:una notazione posizionale che permetteva di calcolare con una velocità e unasicurezza impensabili nelle notazioni greche o latine; il legame costante con leesigenze della vita pratica e la conseguente necessità di esprimere i risultati intermini numerici; e soprattutto il potere creativo di certi segni, come ad esem-pio quello per denotare le radici (Rx), che evocavano dei nuovi numeri – inumeri surdi – là ove la geometria greca aveva letto l’insufficienza del sistemanumerico e l’impossibilità di rappresentare con numeri le grandezze incom-mensurabili. Al problema posto dall’incommensurabilità del lato e della diago-nale del quadrato, problema che aveva determinato la crisi della scuola pitago-rica o quanto meno di una concezione atomica della natura, l’algebra rispondecon dei segni, le radici (o se si vuole con la creazione di nuove entità, i numerisurdi, peraltro più evocati che definiti) e con la possibilità, derivante in granparte dall’agilità del sistema posizionale, di spingere l’approssimazione del cal-colo fino a un grado arbitrario.

La gerarchia classica ne risulta capovolta, ed il numero prende la prece-denza sulla grandezza: come quella degli Arabi dalla quale deriva, l’algebradell’Occidente resta fino alla fine del XVI secolo una disciplina totalmentenumerica. Anche quando il problema in questione rientra tra quelli geometri-ci, alle grandezze in gioco si assegna immediatamente un valore numerico,come pure numerica è la soluzione che si cerca: un numero nel senso piùesteso.

Si deve a Viète l’aver sostituito a questa algebra dei numeri un’algebradelle forme; all’algebra numerosa un’algebra speciosa, nella quale gli oggetti damanipolare non sono più dati immediatamente in numeri, ma sono denotaticon delle lettere, le consonanti per le quantità assegnate, le vocali per le inco-gniteFrancisci Vietae In Artem Analitycen Isagoge,Tours 1591. Si veda anche Ad LogisticenSpeciosam Notae Priores, Paris 1631. Tutte le opere di Viète, o quanto meno quelle rilevanti alnostro scopo furono poi riunite da F. van Schooten nel volume, Francisci Vietae Opera Mathe-matica, Leyden 1646. Su Viète si può vedere: F. Ritter, François Viète inventeur de l’algèbre moderne.1540-1603, «Révue occidentale philosophique, sociale et politique», 10 (1895), pp. 234-274 e354-415..

La sostituzione delle lettere ai numeri non sarebbe di per sé un progressodecisivo. Infatti se è vero che un risultato espresso in formule mostra chiara-mente il ruolo delle grandezze note nella formazione dell’incognita, e talvoltaindica anche il cammino percorso per giungere alla soluzione, non è menovero che nella maggior parte dei casi la regola generale si può enunciare ver-balmente, o meglio ancora si può facilmente estrapolare da un esempio nume-rico ben scelto.

Ben più importante è invece una conseguenza meno appariscente ma piùprofonda delle teorie di Viète, e precisamente la possibilità di una ricomposi-zione su nuove basi dell’unità tra algebra e geometria.

Come abbiamo già osservato, alla base dell’algebra numerosa sta il sistemanumerico classico, esteso con l’introduzione dei numeri irrazionali. Così neiproblemi di geometria si cominciava immediatamente con l’associare un nu-mero ad ogni grandezza in gioco (normalmente dei segmenti), così come unnumero era la soluzione, anche se talora essa veniva interpretata come lun-ghezza di un segmento incognito. Questa geometria numerica non aveva chedeboli legami con il rigore della geometria classica, e ciò non solo né princi-palmente perché essa era rivolta a questioni eminentemente pratiche; anchequando i problemi affrontati avevano un carattere prevalentemente teorico,l’universo nel quale essi si muovevano era sempre quello del calcolo numeri-co. In un certo senso, si può affermare che algebra e geometria pratica (omeglio, algebra e geometria numerica) fanno parte di una stessa tradizione,che si tratti dei problemi pratici degli abachisti o delle costruzioni evolute esofisticate di un Bombelli.

Questa tradizione geometrica era completamente separata dall’altra, cheprendeva origine e metodi dalla geometria classica. L’opera di Viète getta unponte tra queste due anime della matematica, e realizza l’unione dei procedi-menti algebrici con i metodi geometrici. Per raggiungere questo scopo, un pas-so obbligato è il passaggio dall’algebra numerica alla letterale; e la sostituzionedei numeri, troppo immediatamente legati da una parte alle operazioni alge-briche e dall’altra alle applicazioni quotidiane, con le lettere, la cui neutralitàsemantica permette, a seconda dei casi, interpretazioni ora algebriche ora geo-metriche.

La nuova geometria si fonda sull’ambiguità di questi segni. Da una parte,è evidente, le lettere denotano dei numeri, e dunque si potrà operare su diesse con le consuete regole dell’algebra, e con altre che Viète si preoccupa dienumerare non senza una qualche pedanteria; in particolare sarà possibilesommarle tra loro, sottrarle, estrarne le radici. Da questo punto di vista, comu-nemente adottato dalla storiografia sull’argomento, l’algebra letterale non èche una trascrizione tachigrafica della vecchia algebra numerica.

Ma le lettere non si limitano a sostituire ed a rinviare ai numeri; essedenotano anche delle grandezze geometriche: linee, piani, solidi, ed oltre. Dipiù, una tale corrispondenza tra lettere e grandezze non passa per l’intermedia-rio dei numeri, ma vale piuttosto il contrario: si spezza il legame diretto tranumero e grandezza, che aveva determinato la separazione tra geometrianumerica e geometria classica, ed al suo posto si istaura un legame più com-plesso, fondato sul ruolo centrale dei simboli letterali.

Parallelamente, le formule dell’algebra letterale sono da una parte delletachigrafie di analoghe formule numeriche, ma dall’altra indicano delle proce-dure di costruzione geometrica a partire dalle grandezze a cui le lettere si rife-risconoFrancisci Vietae Supplementum Geometriae, Tours 1593.; costruzioni che talora (ma non sempre) sono eseguibili con riga ecompasso, come ad esempio quella relativa all’estrazione della radice quadrata,descritta da Descartes all’inizio della sua GéométrieOeuvres de Descartes, publiées par C. Adam et P. Tannery, Paris 1982, vol. VI, pp. 367-485. (fig. 1):

Ou, s’il faut tirer la racine quarrée de GH, ie lui adiouste en ligne droiteFG, qui est l’unité, & divisant FH en deux parties esgales au point K, du

centre K ie tire le cercle FIH; puis, en enlevant du point G une ligne droiteiusques a I a angles droits sur FH, c’est GI, la racine cherchée.Ivi, pp. 370-371.

Si instaura dunque, tramite l’intermediario della simbologia letterale,una corrispondenza naturale tra le operazioni dell’algebra, che agiscono suinumeri, e le costruzioni della geometria, che si fanno a partire dai segmenti.La relazione è tale che alle costruzioni con riga e compasso corrispondonodelle formule contenenti al più delle radici quadrate, anche ripetute; mentreformule più complesse, ad esempio quelle in cui entrano delle radici cubi-che, rimandano a costruzioni nuove, o quanto meno al di là della geometriadegli Elementi, che Viète riconosce nei procedimenti di inserzione o nellatrisezione dell’angolo.

Le teorie di Viète e di Descartes non sono senza conseguenze sullastruttura del continuo. A differenza dell’algebra numerica, che non conoscealtro continuo che i numeri, la nuova geometria algebrizzata accetta il con-tinuo classico, rappresentato dalla retta euclidea, ma lo priva totalmente del-la costruzione assiomatica rigorosa ma ingombrante della teoria delle pro-porzioni, che sostituisce con una struttura algebrica presa a prestito dal con-tinuo numerico.

L’immagine che ne risulta è quella di un continuo anfibio, i cui elementisono allo stesso tempo delle grandezze e dei numeri. Questa sostanziale ambi-guità si conserverà per tutto il XVII secolo ed oltre, come testimonia ad esem-pio la costante attenzione che in questo periodo è riservata al problema dellacostruzione delle equazioni, un problema nel quale la dualità numero-grandez-za gioca un ruolo essenzialeSulla costruzione delle equazioni si veda: H. J. M. Bos, Arguments on Motivation in the Riseand Decline of a Mathematical Theory; the «Construction of Equations», 1637- ca. 1750, «Archive forHistory of Exact Sciences», 30 (1984), pp. 331-380.. È solo al termine di una lunga marcia di più didue secoli che i due concetti si confonderanno in quello di numero reale,anche se la teminologia sarà ancora presa dalla geometria: si dirà grandezza masi penserà numero.

La struttura del continuo che emerge dall’opera di Viète non muteràsostanzialmente per effetto dell’elaborazione cartesiana, salvo forse per unaaccentuazione dell’aspetto numerico dovuta all’eliminazione della leggedell’omogeneità per effetto dell’introduzione di un segmento unitario. Un talespostamento verso il lato numerico è d’altronde un carattere costante dell’evo-luzione della teoria algebrica del continuo, durante la quale si vanno perdendoi contenuti assiomatici: alle definizioni ed agli assiomi, ingombranti ma preci-si, della teoria delle proporzioni, non si sostituiscono altre definizioni ed altriassiomi, ma il libero gioco delle operazioni algebriche.

Nella Géométrie di Descartes non c’è posto per una sola definizione, né visi trova alcun assioma; al loro posto operazioni e descrizioni. Nel continuodeassiomatizzato e fluido che ne risulta troveranno posto le grandezze infinite-sime che erano rigorosamente ed esplicitamente bandite nella geometria classi-ca.

4. I continui leibniziani

Con gli infinitamente piccoli siamo entrati nel dominio proprio dell’anali-si leibniziana, il tema che qui particolarmente ci interessa.

Il plurale usato nel titolo di questo paragrafo anticipa una delle conclusio-ni che trarremo dall’esame dei passi in cui Leibniz affronta, anche indiretta-mente, il problema: egli non ha una teoria univoca, meno che mai una siste-mazione formale, del continuo; al contrario, di volta in volta privilegia e sot-tolinea questo o quell’aspetto, mettendo in luce proprietà diverse a secondadelle proprie esigenze. Ne risulta una posizione se non oscillante almeno varie-gata, nella quale diverse immagini del continuo si susseguono senza che l’unaprenda il sopravvento sulle altre, e senza che esse si fondano in una teoriaunica, anche se implicita.

La nostra analisi non si limiterà ai passaggi nei quali Leibniz affrontadirettamente ed esplicitamente il problema della continuità; accanto a questicercheremo di rintracciare e di collegare tra loro quei testi nei quali la naturae le proprietà del continuo entrano in maniera più riposta, essendo per cosìdire diluite in argomentazioni di carattere matematico o fisico. In particolare,cercheremo di mettere in luce la struttura che soggiace al calcolo differenzia-le.

Da questo esame si vedono emergere con chiarezza non meno di tredistinte immagini del continuo, che si intrecciano negli scritti leibniziani senzache, almeno per quanto riguarda le ultime due, si possa parlare di una realeevoluzione teorica; quasi che Leibniz si riservasse il diritto di usare l’una ol’altra di esse a seconda delle circostanze. Vediamole in ordine.

a) Il continuo con infinitesimi

Se si eccettuano alcuni passaggi della Theoria motus abstracti, di cui parlere-mo più oltre, il primo scritto in cui Leibniz si trova a dover affrontare sistema-ticamente i problemi della struttura del continuo è il dialogo Pacidius Philale-thiC, pp. 594-627., un’opera «scripta in navi qua ex Anglia in Hollandiam trajeci. 1676Octob.» e dedicata alla «Prima de Motu Philosophia»; un tema nel qualeentrano immediatamente considerazioni concernenti la natura del continuo.

Occorrerà dire subito che Leibniz non è interessato agli aspetti quantitati-vi della teoria del moto, ma piuttosto ai problemi filosofici connessi col cam-biamento. Il problema è classico: in quale momento di un processo continuo siproduce una mutazione qualitativa? Leibniz fa una serie di esempi. Il primoriguarda il passaggio dalla vita alla morte. L’ultimo istante di vita sarebbe ancheil primo istante della morte? Ma allora si sarebbe contemporaneamente vivi emorti, una conclusione palesemente assurda. E ancora: in che momento dalontano un punto diventa vicino a un altro?

si punctum A ad punctum B accedat, fiet aliquando ex non propinquopropinquum Ivi, p. 603..

Anche qui una discontinuità qualitativa fa riscontro alla continuità quan-titativa. Di carattere simile è l’esempio seguente, che ha non poche somiglian-ze con il paradosso zenonico della dicotomia:

quod movetur, nondum est in loco in quo erit: non potest autem ad eumvenire nisi adhuc moveatur. Ergo quidquid movetur, adhuc movebitur Ivi, p. 607.,Fig. 2.

da cui l’assurda conclusione dell’eternità di un qualsiasi moto.

La soluzione leibniziana consiste nell’introdurre di nuovo la distinzionearistotelica tra continuo e contiguo, o per meglio dire nel dotare il continuodelle proprietà del contiguo aristotelico:

Memini Aristotelem quoque contiguum a continuo ita discernere, ut conti-nua sint, quorum extrema unum sunt, contigua quorum extrema simul sunt.Eodem modo dicemus, statum vivi mortuique tantum contigua esse, nec com-munia extrema habere Ivi, p. 601..

L’atto (mentale) della separazione (ad esempio tra il tempo della vita equello della morte o, come altrove, tra i punti vicini e quelli lontani) produceuno sdoppiamento dell’istante-punto; le due estremità che ne risultano sonouna l’ultimo punto lontano, l’altra il primo punto vicino. In questo senso,ribaltando la gerarchia aristotelica che faceva procedere il continuo dal conti-guo, Leibniz considera quest’ultimo come una determinazione del primo, chesi produce all’atto della separazione del continuo in due parti cointegranti.

Gli estremi di queste, C e D nella figura 2, non coincidono anche se sonoinsieme: la considerazione della divisione ha trasformato il continuo in conti-guo. In corrispondenza, il cambiamento (il moto) non è qualcosa che avvienein un istante, ma invece è uno:

statum compositum ex ultimo momento existendi in loco aliquo, et primomomento non existendi in eodem sed in alio proximo Ivi, p. 608..

Ma se si possono trovare due punti contigui, come C e D, non si potrebbecontinuare la divisione e trovare un terzo punto immediatemente successivo aD, e poi un quarto, e così via, fino a risolvere la retta in punti, e il continuo inindivisibili?

A questa domanda Leibniz risponde in due modi. In primo luogo eglimostra che l’assunzione di un continuo di indivisibili porta a conclusioniassurde. Per questo riprende una vecchia obiezione alla teoria cavalieriana, eprecisamente il paradosso di due linee rette disuguali, i cui punti si possonomettere in corrispondenza biunivoca. Tali sono ad esempio l’altezza e la diago-nale di un rettangolo, i cui punti si corrispondono mediante parallele alla base,come si vede nella figura 3.

Cavalieri, i cui interessi erano rivolti più alle potenzialità geometriche delnuovo metodo che alle sue implicazioni filosofiche, aveva evitato questo para-dosso facendo distinzione tra retto e obliquo transito ed escludendo quest’ulti-mo. Al contrario Leibniz, che ha di mira il problema della composizione del continuo, argomenta che da ciò seguirebbe l’uguaglianza del lato e della diago-nale, dato che ambedue sono costituiti da uno stesso numero di punti.

Perché il suo ragionamento sia concludente, Leibniz deve anche smontarel’argomento galileiano, che escludeva la possibilità di paragonare due infinititra loro. A Galileo, che sosteneva che i quadrati non erano né più né menodei numeri, e che in generale

gli attributi di uguale, maggiore e minore non aver luogo ne gl’infiniti,ma solo nelle quantità terminate Opere di Galilei, cit., vol. VIII, p. 79.,

Leibniz risponde che l’esempio addotto mostra solo che

nullum omnino esse numerum omnium numerorum, talemque notionemimplicare contradictionemC, p. 612..