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Mathematische Gegenstände und mathematische Methoden
Die zentralen Wesenszüge der Mathematik haben historisch betrachtet
mehrere
entscheidende Wandlungen erfahren. War die μαθηματικὴ τέχνη
zunächst eine praktische Disziplin des konkreten Messens und Rechnens,
so
wurde sie in griechischer Zeit zu einer beweisenden Wissenschaft
fort-
entwickelt. Diese prototypische Bedeutung behielt sie bis in die frühe
Neu-
zeit hinein, wo ‘more geometrico’ gleichbedeutend für logisch
zwingend
und allgemeingültig stand. Im 18. Jahrhundert bildete die Mathematik
in
Verbindung mit der theoretischen Physik den Garanten für die
Anwen-
dbarkeit menschlicher Rationalität zur Erklärung des
Naturgeschehens.
Eine uneingeschränkte Vorhersehbarkeit und damit
Beherrschbarkeit der
En guise d’introduction et en nous appuyant sur l’histoire des mathématiques nous
mettons
en évidence le changement perpétuel des traits caractéristiques des
mathématiques, de la concep-
tion des objets mathématiques et de la prédomination
des méthodes mathématiques. Nous exami-
nons ensuite l’oeuvre mathématique de G.
W. Leibniz, soit imprimée soit inèdite, pour savoir s’il est
possible d’en
dégager une unité de fond ou de méthode. Or la multiplicité prédomine, on
n’en
saurait mettre en évidence une cohérence interne. Nous intercalons un
sommaire de la théorie de
la connaissance selon Leibniz et nous montrons que le
«bonum commune» s’y présente comme
objectif suprême du savoir humain. Or la
connaissance humaine étant strictement limitée cette fin
ne peut être poursuivie
qu’à l’aide de certains procédés compensateurs: l’analyse et la synthèse,
le
repérage d’analogies et la supposition d’une logique universelle. Selon
Leibniz cette logique com-
prend l’«ars judicandi» basée sur le principe de
l’identité, et l’«ars inveniendi» appuyée sur le
principe de la continuité
(l’analogie). L’unité méthodologique dont Leibniz se sert à avancer
la
connaissance a comme concepts-limite l’unité individuelle (la substance) et
l'unité universelle
(Dieu resp. sa création) - des concepts corrélatifs qui
constituent en même temps des concepts-li-
mite de l’analyse respectivement de la
synthèse. Nous examinons ensuite cette unité méthodolo-
gique que nous venons de
repérer - par rapport à l’analyse et à la synthèse d’objets mathémati-
ques, à
l’emploi de structures analogiques de procédés mathématiques et à la raison
mathématique
déductive et inductive - et nous en dégageons les limites. En
conclusion nous proposons des co-
nsidérations plus générales sur la relativité
des points de vue relationnels et surtout corrélatifs.
Welt durch den Menschen schien in greifbare Nähe gerückt zu sein. Im let-
zten
Jahrhundert zeigten dann die experimentellen Naturwissenschaften
und die Technik
deutliche Grenzen einer umfassenden Mathematisierung
der Welt auf. Parallel dazu
verlief die Herausarbeitung struktureller und
kategorialer Gemeinsamkeiten
mathematischer Gegenstände und Metho-
den. Um die letzte Jahrhundertwende wurde
schließlich auch der Glaube
an die innermathematische Unfehlbarkeit
(Widerspruchsfreiheit) durch die
Russellsche Antinomie erschüttert, woraus
einerseits die Tendenz zu einer
universalen Axiomatisierung der Mathematik und
andererseits die Bestre-
bungen zu einer intuitionistischen Fundierung dieser
Disziplin resultierten.
Dem Wandel der zentralen Wesenszüge der Mathematik entspricht
der Wandel in der
Auffassung der mathematischen Gegenstände. Wurden
Zahlen und geometrische Figuren
in vorgriechischer Zeit noch weitgehend
unreflektiert benutzt, sprach Platon
diesen Gebilden ein eigenständiges Sein
im Reich der Ideen zu: die bisher realen
Gegenstände der Mathematik wur-
den zu idealen Gegenständen des Geistes. In der
frühen Neuzeit gesellten
sich diesen Idealisierungen die unendlich kleinen
Indivisibilien (‘fiktive’
Größen) und die imaginären (‘falschen’) Größen hinzu,
die zunächst zwar
nicht als reguläre mathematische Objekte akzeptiert wurden, mit
denen
sich aber formai gut rechnen und letztendlich zu gesicherten
mathema-
tischen Ergebnissen gelangen ließ. Die Zahl der rein formalen Kalküle
nahm
im 18. Jahrhundert in Mathematik und theoretischer Physik stark zu, bis
in
der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts eine Rückbesinnung auf die
Grundla-
genfragen der Mathematik einsetzte, die in der axiomatischen
Mengenlehre
ihren bisher letzten Ausdruck fand. Für die numerische Mathematik des
20.
Jahrhunderts waren allerdings weniger die Seinsweisen mathematischer
Ge-
genstände von Belang als vielmehr die im Rahmen der Formalisierung
und
Axiomatisierung der reinen Mathematik entwickelten Kalkiile und
Algori-
thmen, mit deren Hilfe mathematische Approximationen und
Simulationen
unter Einbeziehung statistischer Gesetzmäßigkeiten möglich wurden.
Den-
noch bleiben bis heute etliche Desiderate hinsichtlich der Gewißheit
mathe-
matischer Gegenstände; so etwa die Beweisbarkeit der Existenz
unendlicher
Mengen (Unendlichkeitsaxiom) oder die Beweisbarkeit der Existenz
des
Kontinuums geringster Mächtigkeit (Kontinuumshypothese).
Obwohl eine grundsätzliche Reflexion iiber die mathematischen Me-
thoden im
Verlauf der Mathematikgeschichte erst verhältnismäßig spät
einsetzte, wurde doch
seit frühester Zeit die Beziehung von Mathematik
und Logik thematisiert. Hier ist
vor allem Aristoteles zu nennen, der die
mathematischen Objekte als von den
Dingen abstrahierte Eigenschaften an-
sali und auf diese Eigenschaften die
klassische Logik ebenso anwandte wie
auf die konkreten Eigenschaften der
empirischen Objekte. Die logisch (und
schon teilweise axiomatisch) durchgeformte Mathematik, wie sie in Euklids
Elementen ihren Höhepunkt fand, ist ohne
Aristoteles nicht denkbar. Auf
seiten der angewandten Mathematik entwickelte vor
allem Archimedes eine
erste systematische Approximationsmathematik, indem er die
krummlini-
gen Abstraktionsgebilde wie Kreis, Kugel etc. zu berechenbaren
geradlini-
gen bzw. empirisch bekannten Objekten ins Verhältnis setzte oder
sie
durch Schrankenbildung näherungsweise bestimmte. Den nächsten
großen
Fortschritt brachte die Einführung von Buchstaben als Bezeichnung
mathe-
matischer Größen (Viète), welche die Algebra revolutionierte, da durch
sie
eine Vielzahl von Einzelfällen in einer einzigen Formel
zusammengefaßt
werden konnte. Die konsequente Ausdehnung dieses Verfahrens auf
geo-
metrische Objekte gelang Descartes mit seiner Koordinatengeometrie.
Als
schließlich ab Mitte des 17. Jahrhunderts die transzendenten
Größen
(Exponentialgleichungen, unendliche Reihen, Differential- und
Integral-
größen) hinzukamen, geriet die anschauliche Geometrie durch die
einset-
zende Algebraisierung und Formalisierung in die Gefahr, weitgehend
aus
der Mathematik verdrängt zu werden. Zugleich entwickelte sich ein
erbit-
terter Methodenstreit, der vor allem die Zulassung künstlicher, in der
Natur
nicht nachweisbarer Größen, Bezeichnungen und Verfahren betraf.
Auch
der Unterschied von Approximationsmathematik und reiner Mathematik
wurde
erstmals grundlegend problematisiert (Newton, Leibniz). Aber we-
gen der
unbezweifelbaren Erfolge der Mathematik in den exakten Natur-
wissenschaften
obsiegten zunächst die Vertreter einer ergebnisbezogenen
Betrachtungsweise: Wenn
das mathematische Ergebnis richtig und physika-
lisch nutzbar war, sollten alle
dazu erforderlichen Methoden erlaubt sein.
Erst das 19. Jahrhundert unternahm
eine methodische Neubegründung
nahezu aller mathematischen Objekte, von den
natürlichen Zahlen bis hin
zur Theorie der Grenzwerte und der Überabzählbarkeit.
In unserem
Jahrhundert gewannen dann, beflügelt durch die Möglichkeiten der
ele-
ktronischen Datenverarbeitung, die Algorithmen und Kalküle der
diskreten
numerischen Mathematik mehr und mehr an Einfluβ, so daß sie heute
den
mengentheoretischen Methoden der reinen Mathematik des Kontinuums
den
Rang streitig machen. - lm Rückblick läßt sich also feststellen, daß
die
Mathematikgeschichte erfüllt ist von einer nahezu unbegrenzten
Vielfalt
mathematischer Methoden und von einem standigen Auf und Ab
metho-
dologischer Prävalenzen.
Die Vielheit in Inhalt und Form der mathematischen Publikationen
Erwägt man die Fragestellung, ob das mathematische Schaffen von G.
W. Leibniz stärker von Einheit stiftenden Gesichtspunkten oder mehr von
pluralistischen Aspekten geprägt ist, so drängt sich sofort die zweite
Alter-
native auf. Selbst wenn nur die verhältnismäßig geringe Zahl von
Publika-
tionen, die Leibniz auf mathematischem Gebiet vorzuweisen hat,
zugrunde-
gelegt wird, dominiert die übergroße Themen- und Verfahrensvielfalt.
Die
thematischen Inhalte, nach der Chronologie geordnet, reichen von
Kom-
binatorik, Zahlentheorie über Flachenbestimmungen und
Integrationen,
Reihenlehre, mathematisch-physikalische Problemstellungen,
Wirtschafts-
mathematik, allgemeine Differentialrechnungstheorie, spezielle
Kurven, Dif-
ferentialgeometrie, Exponentialgleichungen, Differentialgleichungen,
ma-
thematische Grundlagenfragen bis hin zur Binärarithmetik und zu
Indi-
zierungsverfahren der Determinantenrechnung, wobei diese
Aufstellung
keinesfalls vollständig sein kann, da jeweils nur das Hauptthema
einer
Publikation berücksichtigt ist.
Vielleicht erwächst aus dieser großen thematischen Vielheit unverhofft
eine
Einheit, wenn man das methodische Verfahren der Leibnizschen Pu-
blikationen in
den Mittelpunkt der Betrachtung stellt. Doch weit gefehlt;
auch hierbei stößt man
auf Pluralität und Verschiedenartigkeit, wo Einheit-
lichkeit zu erwarten wäre.
Zwar kreist die überwiegende Mehrzahl seiner
Publikationen um das Desiderat einer
Erweiterung der ‘analyse ordinaire’
durch Einbeziehung des ‘nouveau calcul des
transcendantes’,Considerations sur la différence qu’il y a à observer entre
l’analyse or-dinaire et le nouveau calcul des transcendantes ,Aug. 1694.
Leibniz einmal die Theorie der Exponentialgleichungen und die
der unend-
lichen Reihen, zum anderen aber auch die Theorie der Differentiale
bzw.
Integrale und der dazugehörigen Gleichungen verstand und in deren
Be-
reich auch eine Vielzahl neuer mathematischer Objekte
(Optimierungskur-
ven, differentialgeometrische Kurven) fiel, zu welchen die
bisherige Descar-
tessche Mathematik keinerlei adäquaten Zugang bot. Aber die Art
und
Weise, in der Leibniz diese große mathematische Herausforderung
seiner
Zeit in seinen Zeitschriftenbeiträgen behandelte, war keineswegs
methodi-
sch einheitlich; es sei denn, man sieht die Einheitlichkeit darin, daβ,
was
auch immer Leibniz an neuen mathematischen Erkenntnissen mitteilte,
die
zu ihrer Entdeckung führende Methode unterschlagen wurde: “II est
bon
cependant de ne pas prostituer nos Methodes, sur tout à l’egard des
gens,
qui en usent avec un peu de supercherie”.
methodischer Einheitlichkeit der Vorgehensweise sind weniger bei
den
Inhalten als bei den Anlässen der Leibnizschen Publikationen zu
suchen:
Diese wurden nämlich in ihrer überwiegenden Mehrzahl durch die
Erfor-
dernisse der Respublica literaria bestimmt. So brachte Leibniz in
jungen
Jahren Proben seines Könnens und später Texte zur Sicherung seiner
Prio-
ritätsansprüche sowie Reaktionen auf Publikationen oder briefliche
Mittei-
lungen konkurrierender Gelehrter an die Öffentlichkeit, wobei viele
Bei-
träge zugleich auch als Unterstützung der wichtigsten deutschen
Gelehrten-
zeitschrift, der Acta
eruditorum, gedacht waren. Publikationen aber, die ein
ausgewähltes
mathematisches Gebiet systematisch und tendenziell erschöp-
fend behandelten,
suchte man bei dem Autor Leibniz beinahe vergeblich.Nova methodus pro maximis et minimis
, Okt.
1684,
Quadratura arithmetica communis sectionum conicarum, Apr. 1691,
Supplementum geome-trie practicae,
Apr. 1693,
Nova calculi differentialis applicatio et usus, Jul. 1694, sowie die beiden
Beiträge
zur ‘scientia
infiniti’
Specimen novum analyseos,
Mai 1702, und
Continuatio analyseos quadraturarum,
Jan. 1703.
In Zeitschriftenbeiträgen, die aus den unterschiedlichsten außeren
Anlässen
und häufig ohne Zugriffsmöglichkeiten auf frühere Aufzeichnungen zur
je-
weiligen Thematik niedergeschrieben wurden, mußte die
Darlegungsweise
zwangsläufig okkasionell und uneinheitlich ausfallen.
Die Vielheit in Inhalt und Vorm der Briefe und posthumen Veröffentlichungen
Nun hat Leibniz selbst vor solcherlei Untersuchungen gewarnt, als er
sagte: “...
qui me non nisi editis novit, non novit”.
seinen Publikationen zumindest seine brieflichen Äußerungen und,
soweit
möglich, seine posthum erschienenen Werke einzubeziehen haben. Die
be-
grenztere Öffentlichkeit der Briefe und insbesondere die von vielen
Briefen
überlieferten Konzepte, die meist offener und aussagekräftiger sind als
die
abgesandten Fassungen, lassen einen tieferen Einblick in die Werkstatt
sei-
nes mathematischen Schaffens erwarten. Ebenso verfeinern die von C.
I.
Gerhardt, L. Couturat u. a. herausgegebenen Textsammlungen aus dem
Nachlaß
- die vielfach auf Handschriften basieren, die in einer Reinschrift
vorliegen und
daher in aller Regel eine größere Reife als andere Texte auf-
weisen dürften -
unser Wissen von der Leibnizschen Gedankenwelt.
Doch was auf dieser neuen Textgrundlage als erstes sichtbar wird, ist
eine
abermalige Ausweitung der Themenvielfalt und der Darlegungsmetho-
den. Die
geometrische Charakteristik, die ‘analysis situs’, die Determinan-
tentheorie,
Gebiete, über die Leibniz fast nichts publiziert hatte, aber auch
Schriften zu
den Grundelementen der Mathematik, zur mathematischen
Logik oder zur ‘mathesis
generalis’ sind nicht nur im brieflichen Austausch
mit den Freunden häufig
erwähnte Projekte; in den posthumen Editionen
finden sich sogar etliche
vergleichsweise systematische Abhandlungen zu
diesen Gebieten.Nova algebrae promotio, um 1694; Mathesis
universalis, um
1694; In Euclidis Prota , um
1711; Specimen geometriae luciferae , um 1714.
finitionen, Axiome, Propositionen
und Demonstrationen zurückgegriffen
wird oder etliche die Form von sorgfältig
ausgearbeiteten Dialogen haben:
von einem einheitlichen methodischen Vorgehen kann
hier dennoch nicht
ernsthaft gesprochen werden. Je nach geplantem Verwendungszweck
bzw.
intendiertem Adressatenkreis variieren Darlegungsformen und
struktureller
Aufbau in vielfältiger Weise. Da zu Leibniz’ Lebzeiten außer der
kombina-
torischen Jugendschrift De arte combinatoria von
1666 keine mathematische
Monographie erschien und auch bis heute lediglich ein
halbes Dutzend mo-
nographisch ausgeformter mathematischer Texte, von denen vor
allem Dequadratura arithmetica, 1993, und Ein Dialog zur Einführung in die Arithmetik und Algebra, 1976, Erwähnung
verdienen, ediert worden sind,Die mathematischen Studien...
zurKombinatorik , 1976; H. J. Zacher, Die
Hauptschriften zur Dyadik, 1973; J. Echeverría, Characteri-stica geometrica ,1979; H. P. Münzenmayer, Der Calculus Situs und die Grundlagen der Geometrie,
1978; E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, 1980; E. Pasini,La nozione di infinite-simo,1985-1986, anzuführen.
auch für diese Textgruppe die Annahme einer methodischen Einheitli-
chkeit
nicht aufrechterhalten werden.
Die Vielheit in Inhalt und Vorm der nachgelassenen Schriften
Bleibt also die Hoffnung, daß uns die im Nachlaß schlummernden
Texte eine bisher
verborgen gebliebene Einheit aufzeigen werden. Nun
sind aber Nachlaßwerke in
aller Regel unfertige, wenig durchgeformte und
unredigierte Texte, die entweder
nicht für die Öffentlichkeit bestimmt oder
gedanklich und sprachlich nicht so
weit gediehen waren, daß sie der
Öffentlichkeit übergeben werden konnten. Bei
Leibniz’ Nachlalß kommt er-
schwerend hinzu, daß er von einem geradezu
unvorstellbaren Umfang ist,
da dieser Gelehrte die Gewohnheit hatte, fast jeden
Notizzettel aufzube-
wahren. In Anbetracht dieser Papiermenge kann es nicht
überraschen, daß
von seinem naturwissenschaftlichen Nachlaß nicht einmal die
Hälfte katalo-
gisiert und erschlossen ist. Diese Unwägbarkeiten einmal
vorausgesetzt, ist
es für mich nach einem Vierteljahrhundert täglichen Umgangs
mit diesem
Handschriftenfundus dennoch unzweifelhaft, daß die mathematischen
Ma-
nuskripte im Nachlaß eine zumindest ebenso große Vielfalt an Themen
und
eine vergleichbar große Variationsbreite an methodischen
Vorgehensweisen
enthalten, wie das bisher aus dem Nachlaß edierte mathematische
Œuvre.
Auch in seinen persönlichsten Aufzeichnungen hat Leibniz keine Konzep-
tion eines
einheitlichen Gebäudes seiner mathematischen Errungenschaften
und keinen Entwurf
einer einheitlichen Methode ihrer Herleitung hinterlas-
sen.
ersten hannoverschen Jahre; vgl. E. Knobloch,
Übersicht über die unveröffentlichten mathemati-schen
Arbeiten von Leibniz (1672-1676),
1978, bzw. H.-J. Heß,
Maturing in retirement. The un-known period of Leibnizian
calculus between Paris and publication (1676-1684),
1991.
die ‘analysis situs’ und die ‘characteristica universalis’ liegen
lediglieli in
thematisch sehr begrenzten und methodisch variierenden Konzepten
vor.
Seine Algebra und seine diophantische Arithmetik waren an den
neuen
Aufgabenstellungen sachlich und methodisch weitgehend gescheitert.
Vor
diesem Hintergrund ist auch im Opus posthumum von G. W. Leibniz
keine
Einheit in Inhalt und Form zu erwarten.
Ein Abriß der Leihnizschen Erkenntnistheorie
Ist somit auf Einheit im mathematischen Schaffen des berühmten
Barockgelehrten
endgültig zu verzichten? Haben seine grenzenlosen
ma-
thematisch-naturwissenschaftlichen Interessen und Bemühungen zu
einer
inhaltlich und formai rein additiven Wissensanhäufung in seinem
Denken
und Schaffen geführt? Galt ihm letztlich Quantität und Priorität mehr
als
Qualität und Perfektion? Während unsere bisherigen Darlegungen die
Be-
jahung der ersten beiden Fragen nahelegen könnten, müssen bei der
Beant-
wortung der dritten Frage Zweifel aufkommen: Hatte nicht gerade
Leibniz
seine Entdeckungen auf dem Gebiet der Infinitesimalrechnung fast
10
Jahre lang zurückgehalten? Hatte er seine Kreisquadratur nicht - nach
ei-
nem ersten Publikationsversuch - trotz Drängens seiner Freunde zur
Seite
gelegt, weil sie seiner Meinung nach nicht mehr dem Stand der
Forschung
entsprach? Hatte nicht der Nestor der Infinitesimalrechnung, um
seine
grundlegende Schrift zur ‘scientia infiniti’ reicher und vollständiger
werden
zu lassen, Jacob Bernoulli u. a. eingeladen, aktuelle Beiträge
beizusteuern?
Wenn Leibniz also doch Qualität und Perfektion - trotz aller
Vielseitigkeit
und Variabilität - am Herzen lagen, so muß seinem
Erkenntnisstreben eine
Wertordnung zugrundegelegen haben, deren Kenntnis für die
Beantwor-
tung der aufgeworfenen Fragen unerläßlich ist.
Das Wissen des Menschen ist nach Leibniz’ Überzeugung nicht Selbst-
zweck,
sondern es dient dem “bien commun, qui n’est point different de la
gloire de Dieu”.
zum göttlichen grundsätzlich
begrenzt und weniger leistungsfähig sind, be-
dürfen sie methodischer Verfahren,
um die kreatürlichen Unzulänglichkei-
ten so weit wie möglich zu kompensieren. Zu
diesen Verfahren gehören
Analyse und Synthese, De synthesi et analysi
universali seu arte inveniendi et judicandi aus der Zeit 1680-1684
(GP VII, 292-298).
weit uns bekannt, nirgendwo exakt
definiert. Einziges Kriterium der Verwendung ist die
Vergleichbarkeit, unter
der Prämisse, daß keine Gleichheit vorliegt. Dabei kann das ‘tertium
com-
parationis’ fast beliebig gewählt werden: inhaltlich, formai, strukturell
etc. Sehr häufig vorkom-
mende Analogien sind bei Leibniz
corps (substance ) und esprit (âme), choses sensibles
und choses insensibles sowie plantes und animaux.
einer universalen Logik.
tum non tantum Geometricas sed et Metaphysicas, id
est non tantum secundum necessitates mate-
riales, sed et secundum rationes
formales; idque verum est non tantum generaliter in ea quam
nunc explicavimus
ratione Mundi existentis potius quam non existentis, et sic potius quam
aliter
existentis..., sed etiam ad specialia descendendo videmus mirabili
ratione in tota natura habere lo-
cum leges metaphysicas causae, potentiae,
actionis...” (GP VII, 305).
dem Ziel, alle ihre Eigenschaften zu bestimmen, sowie die gegenläufige
Syn-
these von Teilstücken zu einem größeren relativen Ganzen erhalten
ihre
fundamentale Bedeutung durch die Leibnizsche Überzeugung, daß die
Ver-
nunftwahrheiten analytische Urteile sind, während die kontingenten
(zufäl-
ligen) Wahrheiten die Form synthetischer Urteile haben. Bei der
Analyse
gilt es, letzte Grundeinheiten (primitive Elemente) zu finden, die
Synthe-
se führt durch Kombination bereits bekannter Teilerkenntnisse zu
einer
neuen, umfassenderen Erkenntnis. Die für die unvollkommenen
menschli-
chen Erkenntnisvermögen typischen Analogien sind Vergleichbarkeiten
ins-
besondere formaler und struktureller Art, wie sie am einfachsten in
den
Proportionen geometrischer Größen zum Ausdruck kommen, wie sie aber
auch
in der höheren Mathematik etwa bei der Bildung der n-ten Potenz ei-
nes Binoms
bzw. bei der Bildung der n-ten Ableitung eines Produktes
zweier Funktionen
augenfällig werden. Schließlich müssen alle menschli-
chen Erkenntnisse mittels
einer durchgangigen Logik miteinander ver-
knüpft sein, einer Logik, die sowohl
allem durch Gott Geschaffenen als
auch unserem Wissen von den geschaffenen Dingen
zugrundeliegt. Erst die
Identität von Schöpfungslogik und Erkenntnislogik
garantiert die Kompati-
bilität von Sein und Wissen.
Was folgt nun aus dieser Konzeption der Leibnizschen Erkenntnistheo-
rie für die
Frage nach Einheit und Vielheit in seinem mathematischen
Schaffen? Zunächst einmal offensichtlich nicht die Einheitlichkeit der
ma-
thematischen Erkenntnisse oder gar ein einheitliches mathematisches
System
(vergleichbar etwa dem Bourbaki-Projekt); denn über die
charakteristi-
schen Eigenschaften der einzelnen Erkenntnisgegenstande und ihrer
spezi-
fischen gegenseitigen Beziehungen läßt sich aus einer solchen
Konzeption
nichts Definitives herleiten. Aber wohl auch nicht die Einheitlichkeit
der
mathematischen Methode (vergleichbar etwa der Hilbertschen Axiomatik
in
der Geometrie); denn Leibniz betont immer wieder “variare methodos
ad
perfectionem scientiae pertinet, quia aliae Methodi aliis problematis
sunt
aptiores, et quasi a natura assignatae”. Acta eruditorum , 17. Oktober 1684
(A III.4, 180).
vorhandene Einheit
nur auf einer höheren Reflexionsebene gesucht werden.
Der Begriff ‘Einheit’ hat zwei Grenzbedeutungen: eine als kleinstmögli-
che
Einheit im Sinne von unteilbar oder letztgültig (Unum) und eine als al-
les umfassende Einheit im Sinne von vollständig
oder vollkommen (Totum).
Daher scheint es
so, als ob der Begriff ‘Einheit’ zwei entgegengesetzte
Dinge, nämlich das
Individuale bzw. das Universale, bezeichne. Diese Be-
griffe sind aber nur
Korrelata ein und derselben Relation: Ist das Ganze
mehr als die Summe seiner
Teile, so bildet es eine individuelle Einheit; ist
das Individuum mehr als ein
bloßes Teilstück eines größeren Ganzen, so
bildet es eine ganzheitliche Einheit.
In Leibniz’ Metaphysik sind nun diese
Grenzbedeutungen leicht zuzuordnen: Die
kleinstmögliche Einheit ist die
Substanz oder Monade; die alles umfassende
Einheit ist die Schöpfung als
Reich der Gnade. Erkenntnistheoretisch formuliert,
ist der Zielpunkt der
Analyse die substantielle, charakteristische Einheit und
der für den Men-
schen nie erreichbare Endpunkt der Synthese die Welterkenntnis
Gottes.
Die diesen Korrelata zugrundeliegende methodologische Relation ist
die
Logik in der Leibnizschen Auffassung dieses Begriffs: “Unter der
Logick
oder Denckkunst verstehe ich die Kunst den verstand zu gebrauchen,
also
nicht allein was fürgestellet zu beurtheilen, sondern auch was verborgen
zu
erfinden”.
gabe der Erkenntnisgewinnung nach und bedient sich
dabei der Gleichheit
(Prinzip der Identität und des ‘tertium non datur’) im
Bereich der ‘ars judi-
candi’ und der Analogie (Prinzip der Kontinuität
tis quoque vicinis ad priora
convenire aut opposita esse suspicemur” (A VI.3, 425 f.).
veniendi’. An dieser erkenntnistheoretisch-methodologischen Einheit
von
Individualität und Totalität, von Analyse und Synthese, von Identitat
und
Analogie sowie von ‘ars judicandi’ und ‘ars inveniendi’ müssen sich also
Qualität und Perfektion auch von
mathematisch-naturwissenschaftlichen
Erkenntnissen messen lassen; sie ist das
einende und Vollkommenheit stif-
tende Band von Geometrie und Algebra.
Die Einheit von Analyse und Synthese mathematischer Gegenstände
Wie sieht nun diese methodologische Einheit der Leibnizschen
Erkenntnistheorie im
Bereich der mathematischen Erkenntnisgewinnung
aus? Da ist zunächst die Einheit
von Analyse und Synthese herauszustellen,
ein Begriffspaar, welches in der
Mathematikgeschichte bisher eher konträre
Methoden gekennzeichnet hatte. Für die
Analyse als Zergliederung bis in
die letzten Grundbegriffe bildeten die
EuklidischenElementedas Para-
digma,
für die Synthese zu einer Theorie aller geometrischen Kurven auf
der Basis der
sie repräsentierenden algebraischen Gleichungen und ihrer
Schnittgebilde war im
17. Jahrhundert die Descartessche Geometria
das al-
lseits anerkannte Vorbild. Leibniz versuchte nun beide methodischen
An-
sätze miteinander zu verbinden und sowohl die Rückführung auf
Grundele-
mente als auch die Zusammenfassung zu einer alle Möglichkeiten
umfassen-
den Gesamtheit als notwendig aufeinander bezogene Verfahren
hinzustel-
len. Dies wird besonders deutlich in der Gleichungslehre, wo er
einerseits
bestrebt war, das Problem der algebraischen Gleichungen höheren
Grades
auf bestimmte Lösungsformen (z. B. Cardanische) bzw. auf
bestimmte
Gleichungsformen (Formentafeln) zurückzuführen, und andererseits die
al-
gebraischen Gleichungen - als endliche Gleichungen mit einem
bestimmten
Grad - einzuordnen in die Gesamtheit aller möglichen Gleichungen, zu
de-
nen er auch die transzendenten Gleichungen zählte.
phantische) bzw. irrationale Gleichungen
einerseits und transzendente mit der Untergliederung in
endliche bzw.
unendliche Gleichungen andererseits. Die endlichen transzendenten
Gleichungen
wiederum wurden in Exponentialgleichungen und Differential- bzw.
Integralgleichungen unter-
teilt; die unendlichen Gleichungen waren
Potenzreihen.
sich auch in der Integrationstheorie
aufzeigen, wo Leibniz zum einen
glaubte, die Bestimmung aller unbestimmten
Integrale auf die Quadratur
weniger Grundintegrale (z. B. des Kreises und der
Hyperbel) reduzieren
zu können, und zum anderen ein allgemeines für alle
Integrationsaufga-
ben gültiges Lösungsverfahren durch Potenzreihenansatz mit
unbestimmten Koeffizienten entwickelte. Daß er sich
bewußt war, daß
die methodologische Einheit von Analyse und Synthese auch zwei
Vor-
gehensweisen eint, die in der Mathematikgeschichte häufig genug
Anlaß
zum Methodenstreit gegeben haben, zeigt das folgende Zitat: “Analysis
enim duorum est generum, una per saltum, cum problema propositum re-
solvimus ad
prima usque postulata; altera per gradus, cum problema propo-
situm reducimus ad
aliud facilius”.
Die Einheit von analogen Strukturen mathematischer Verfahren
Der Begriff ‘Analogie’ bezieht sich bei Leibniz manchmal auf Dinge,
estant données, trouver leur ressemblances”
(A VI.3, 673).
häufiger auf Größen oder geometrische Figuren. Von besonderer Wichtig-
keit
ist die Analogie von Verhältnissen oder, wie wir heute sagen würden,
von
Strukturen. Sowohl bei Größen und Figuren als auch bei Strukturen
spricht Leibniz
von ‘Analogie’, wenn keine Gleichheit, sondern lediglich
Ähnlichkeit vorliegt:
“analogia seu ipsarum similitudinum comparatio”
Die wohl wichtigste Analogie in der Leibnizschen Mathematik ist die
zwi-
schen den Verhältnissen bei beliebig kleinen Größen bzw. Figuren
(insbe-
sondere beim charakteristischen Dreieck) und den Verhältnissen bei
dazu
ähnlichen endlichen Größen bzw. Figuren. Diese Analogie von
infinitesima-
len Strukturen und finiten Strukturen setzt ebenso eine
durchgangige Ho-
mogenitat mathematischer Größen voraus wie die Analogie der
Ordnungs-
struktur einer endlichen Reihe zur Ordnungstruktur der
entsprechenden
ins Unendliche fortgesetzten Reihe. Aber auch endliche
Iterationsstruktu-
ren weisen untereinander analoge Eigenschaften auf.
Berühmtestes Beispiel
ist die Analogie von n-ter Binompotenz und n-ter Ableitung
eines Produk-
tes, eine Analogie, die Leibniz sogar bis zu den gebrochenen
Potenzen ver-
folgte. Die analogen Strukturen von iterativen
Approximationsverfahren
(Picardsches Verfahren) gehören ebenfalls hierher. Als
letzten Beleg für die
Analogie von Strukturen wollen wir das sog. Prinzip der
Komplementarität
anführen, welches die Möglichkeit eröffnet, die Lösung eines
Problems
(teilweise) im inversen Operationsbereich durchzuführen. Klassisches
Bei-
spiel für ein solches Vorgehen ist das Wurzelziehen, welches durch
Poten-
zieren von Zwischenergebnissen erreicht wird. Entsprechendes gilt für
das
Logarithmieren.
(von
Termen) auf.
und
auf das Lösen von Differentialgleichungen durch Lösungsansatze. Nur
am Rande sei
erwähnt, daß insbesondere die Anwendung mathematischer
Methoden (z. B. der
Infinitesimalrechnung) auf physikalische Probleme im-
plizit eine Analogie der Struktur physikalischer Gesetze zur mathemati-
schen
Struktur voraussetzt.
Die Einheit von Logik und Erfindungskunst beim mathematischen Erkennt-
nisfortschritt
Wie oben dargelegt, fällt der Logik nach Leibniz nicht nur die Aufgabe
des
Urteilens und Schließens auf der Grundlage vorgangiger Urteile und
Schlüsse zu,
sondern auch die Verpflichtung, neue Entdeckungen zu ma-
chen. Für das Gebiet der
Mathematik bedeutet dies, daß die Logik nicht
nur bereits bekannte oder vermutete
Sätze beweisen oder widerlegen soli,
sondern sich aktiv an der Aufstellung neuer
Satze und Theorien beteiligen
muß. Dies soli vor allem durch die Erfindung
aussagekräftiger Symbole
oder Charaktere für die betreffenden mathematischen
Gegenstände, durch
die Bereitstellung optimaler Verknüpfungen und Kalküle für
solche
Charaktere sowie durch die Kombination bereits bekannter
Teilerken-
ntnisse zu neuen Erkenntnissen geschehen. Leibniz bezeichnete diese
Tätig-
keit der logischen Vernunft als ‘ars’ und brachte damit deutlich zum
Aus-
druck, daß es sich dabei nicht um ein zwangsläufig erfolgreiches
Vorgehen
handeln kann. Beispiele für gelungene Fortschritte sind, neben dem
be-
rühmten Differentialkalkül und seinen Anwendungen in Geometrie
und
Physik, die durch geschickte Indizierung erreichte Lösung linearer
Glei-
chungssysteme mittels Determinanten und die Anfänge einer
entalgebrai-
sierten Inzidenzgeometrie der Lage. Ebenso unübersehbar ist aber
auch die
Begrenztheit der Erfolge dieser Einheit von deduktiver und induktiver
Ver-
nunft. Bei den Diophantischen Gleichungen, bei vielen speziellen
Kurven
oder in der numerischen Reihenlehre - um nur drei Beispiele zu nennen
-
gelang es Leibniz nicht, allgemeine und allgemeingültige Lösungswege
auf-
zuzeigen. Die Vielfältigkeit und Disparatheit dieser mathematischen
Gegen-
stände war zu groß, die notwendigen neuen Gesichtspunkte und
Betra-
chtungsweisen lagen zu weit von den bisherigen Vorgehensweisen
entfernt,
als daß die methodologische Einheit von ‘ars judicandi’ und ‘ars
inveniendi’
allein ausgereicht hätte, um zum Ziel zu kommen. Hier waren
grundlegend
neue mathematische Theorien erforderlich, nicht geschickte
Kombination
und Fortschreibung von Bekanntem. Abschließend ist somit
festzustellen,
daß trotz aller methodologischen Einheitlichkeit der
mathematischen Er-
kenntnisgewinnung die charakteristische Vielheit möglicher
mathematischer
Gegenstände und Strukturen nicht ausreichend erfaßt wird. Eine
‘reductio
ad calculum’ ist nicht einmal innerhalb der Mathematik
uneingeschränkt
und rein rational durchführbar, viel weniger noch ist dies in den
angewand-
ten Naturwissenschaften möglich. Eine optimale Kompensation der
Unzu-
länglichkeiten menschlicher Erkenntniskraft war auf dem von Leibniz
vor-
geschlagenen Weg nicht erreichbar.
Kategoriales Denken und Relativität
“Harmonia autem est unitas in multitudine...”, sagt Leibniz in
einer
Aufzeichnung
1677 (GP I,
232).
einigkeit in der vielheit
ist nichts anders als die übereinstimmung, und weil
eines zu diesem naher stimmet
als zu jenem, so fliesset daraus die ordnung,
von welcher alle schöhnheit hehrkom...”.Die Einheit in der Vielheit ist
also eine
akzidentelle Einheit, die sich von der substantiellen Einheit der
Monaden
grundlegend unterscheidet. Sie ist eine Ordnung der Dinge oder
der Gedanken, die
nicht notwendig, nicht einzigartig und nicht ewig ist
und doch vom Menschen als
hilfreich und angenehm angesehen wird.
plus d’unité qu’une cohue confuse et qu’un corps organisé ou bien une
machine a plus d’unité
qu’une societé, c’est à dire il est plus à propos de
les concevoir comme une seule chose, parcequ'il
y a plus de rapports entre les
ingrediens; mais enfin toutes ces unités ne reçoivent leur accomplis-
sement
que des pensées et apparences, comme les couleurs et les autres phenomenes, qu’on
ne
laisse pas d’appeller reels” (Leibniz an Arnauld, 10. Mai 1687; GP II,
100).
wird konstituiert durch den Vergleich von Objekten mittels
der Sinne und
des Verstandes und ist daher auf der Ebene der Vergleichsobjekte
immer
relational. Auf der Metaebene aber ist sie relativ, denn jede spezielle
Or-
dnungsstruktur ist wieder eine Einheit in bezug auf die Vielheit
möglicher
struktureller Gliederungen ähnlich wie jede Monade Teil eines
Aggregats
von Monaden mit einer Zentralmonade sein kann.
composée (comme par exemple, d’un animal) et le
principe de son Unicité, est environnée d’une
Masse composée par une infinité
d’autres Monades, qui constituent le corps propre de cette Mo-
nade centrale,
suivant les affections duquel elle represente, comme dans une maniere de
centre,
les choses qui sont hors d’elle” (GP VI, 598 f.).
che Einheiten allerdings zugleich metaphysische und damit
ontologische
Einheiten, für uns Heutige sind sie zumindest methodische
Hilfmittel, die
aus den klassischen korrelativen Denkkategorien Einheit und
Vielheit
fließen. Als Regulative sind sie grundsätzlich von nur relativer
Bedeutung,
d. h. was als Einheit und was als Vielheit anzusehen ist, bestimmt
sich rela-
tiv zur Reflexionsebene bzw. zu den Bezugsgrößen. Dies sei an einem
Teil-
gebiet der Mathematik verdeutlicht. Die Gesamtheit aller Zahlen besteht
aus ineinander geschachtelten Teilbereichen, die jeweils als Einheit
oder
Äquivalenzklasse angesehen werden können: das Einselement, die
natürli-
chen Zahlen, die rationalen Zahlen, die algebraischen Zahlen usw.
Entspre-
chend kann die Gesamtheit aller Zahlen als Vielheit, bestehend aus den
ge-
nannten Einheiten und ihren durch die Forderung nach
uneingeschränkter
Ausführbarkeit mathematischer Verknüpfungen bedingten
Erweiterungen,
betrachtet werden.
Die Korrelata Einheit und Vielheit und die Relativität der daraus
resul-
tierenden Einteilungen sind für die menschliche Denk- und
Anschauungs-
weise keinesfalls untypisch oder singulär. Vergleichbare methodische
Hilfs-
mittel bilden auch die Korrelata Ursache und Wirkung oder
Notwendig-
keit und Zufälligkeit. Für Leibniz jedoch waren alle diese
Denkkategorien
nicht unabhängig von Seinskategorien; die durch die Denkkategorien
cha-
rakterisierten Gliederungen beschrieben zugleich eine ontologische
Stru-
ktur, deren absolute Grenzbegriffe die Monade einerseits und die von
Gott
geschaffene Welt andererseits waren.
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