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Faire place dans le présent colloque à des sondages dans la
littérature
mathématique des XVII et XVIII siècles a été, si j’ose dire, une
heureuse
idée. Car cette littérature qui a constitué le support d’une science
nouvelle et
qui privilégie a priori une activité mentale quasi entière et exclusive,
a bien
quelque chance de nous fournir matière à réflexion.
Si je précise dans le titre de mon exposé que ma référence est l’art analy-
tique,
c’est que ce terme caractérise la novation qui a transformé la mathéma-
tique au
début du XVII siècle et ouvert les voies d’un développement consi-
dérable. Sous la
plume de l’initiateur, François Viète, le terme associe deux
substantifs Ars analjtices et c’est seulement à la fin du siècle qu’avec un
Jacques
Bernoulli est apparu en latin Ars analytica où
analytique est devenu adjectif. Il y
a intérêt à remonter à l’expression originelle
qui a été bien assimilée par les
traductions françaises de Viète aux environs de
1630. A côté des procédures
traditionnelles de l’Analyse et de la Synthèse, est
proposée à la mathématique
une troisième voie de résolution des problèmes,
l’Analytique. Elle consiste à
supposer tel problème résolu, et en analysant les
relations que cette supposi-
tion entraîne entre des éléments constitutifs classés
en deux catégories, les
donnés ou connus et les inconnus, établir comment ces
derniers se trouvent
déterminés. Ainsi à l’usage de l’Analyse se trouve associée une
écriture, d’où
un art, caractéristique de l’exercice de la pensée à l’aide d’un
outil particulier.
La question de savoir si cet outil a été fiable au cours de son
développement
n’a pas pu manquer de se poser. Et c’est ce qui me paraît au cœur
d’une
enquête sur le mot idée.
Dans la mesure où je suis invité à faire cette enquête sur un ensemble
d’œuvres
pratiquement absentes des grandes entreprises informatiques, je ne
peux présenter
que quelques sondages. Sondages que je crois cependant signifi-
catifs. Je ne peux
aussi que m’attacher à des œuvres en langue française parce
que c’est dans cette
langue que l’art analytique a été en fait exprimé de maniè-
re massivement majeure à
l’époque considérée. La conscience d’une double
limitation m’est suffisamment
présente pour que mon propos soit ici accepta-
ble, me semble-t-il.
Le mot idée est absent des œuvres de Viète, aussi bien dans leur
version
originale latine que dans leurs traductions françaises, au moins en ce
qui
concerne les passages clefs où on devrait le trouver. Même constatation
—
cette fois exhaustive — dans le petit ouvrage d’Albert Girard
Invention nouvelle en l’Algèbre, publié à Amsterdam en 1629, qui a eu une
importance considéra-
ble.
Toutefois je relève les expressions suivantes:
fol. 12 v. Construction algébrique des questions. On y procède le
plus
souvent comme aux fausses positions.
fol. 13 z. 1.5 Pour résoudre une question, il la faut remettre en question
de
nombres abstracts.
Il est clair que l’auteur entend bien que les objets considérés par la
méthode
mathématique sont le résultat d’une abstraction, mais ce n’est pas par
hasard qu’il
parle de construction. Les objets abstraits ont la qualité d’outils
pour l’homo qui est faber avant d’être sapiens, et le fait est confirmé par la déno-
mination
qu’Albert Girard introduit aux folios 20-24 à propos des équations. Il
appelle en
effet factions les sommes des racines, ou de leurs produits
deux à
deux, ou trois à trois, etc., c’est-à-dire ce que nous appelons les
fonctions
symétriques des racines. Le mot faction, qui ne
s’est pas conservé en mathéma-
tiques, est très caractéristique d’une conception
opératoire.
Ceci étant, on pourrait légitimement penser que celui qui s’est affirmé en
1637
comme un grand maître de l’art analytique, a modifié la situation du
discours de
manière significative.
Or — nous l’avons entendu — l’indexation du Discours de la
Méthode et des Essais assure que si le mot idée est l’objet d’un emploi caractéristique dans le
Discours il est absent de la Géométrie et
des Météores et n’intervient qu’une seule
fois dans la Dioptrique avec un sens mathématique (l’idée de
la distance ).
Le cas Descartes n’est donc pas réglé par l’analyse très approfondie
que
Jean-Robert Armogathe nous a présentée du point de vue lexical et
philoso-
phique. La nécessité d’y revenir s’impose du fait même des déclarations
que
l’auteur du Discours n’a pas ménagé concernant
l’inspiration qu’il a puisée dans
les mathématiques. L’une de ces déclarations est
d’ailleurs remarquable en ce
que Descartes, sans renier le mot art, manifeste le
désire de prendre quelque
distance par rapport à lui.
Il s’agit du passage de la Seconde Partie, AT VI, p. 17, 1. 11 p. 18, 1. 7.
Descartes énonce les jugements que lui inspirent la méditation des trois
arts qu’il
voit en œuvre en mathématique. La logique sert à prouver mais ne
permet pas
d’inventer. L’analyse des Anciens, trop liée à la considération des
figures, fatigue
l’imagination. L’Algèbre des modernes est encombrée de signes
et de définitions, et
n’est en définitive qu’un art confus. Le dessein de Descar-
tes a été de tirer de ces trois arts une méthode qui conjugue
leurs avantages en
éliminant leurs inconvénients.
Et un peu plus loin (AT VI, p. 20, 1. 18-21), il est bien précisé que
ladite
méthode est conjointe à l’usage de chiffres,
c’est-à-dire encore de signes, les plus
courts qu’il soit possible. La méthode est
donc encore un art, mais organisé de
manière économique.
Je crois que l’on doit tenir fermement cette vision du projet cartésien.
Dans la
mesure où il est incontestable que Descartes a donné à l’art analytique
un essor
original et décisif, il est probable que l’économie dans laquelle le
promoteur a
inséré son apport est fondamentale. Il y a lieu, en tout cas, de ne
pas en négliger
l’avertissement pour l’enquête que nous essayons de faire.
A reprendre les occurrences du mot idée dans le Discours, on ne peut omet-
tre le lien de quelques-unes avec un substrat
mathématique, d’où la nécessité
d’une étude particulière. Celle-ci cependant n’a de
sens qu’en fonction de deux
remarques, à savoir que d’une part il s’agit d’un
substrat mathématique large et
que d’autre part l’appel de Descartes à ce substrat
intervient occasionnelle-
ment dans une séquence du Discours
très structurée par rapport à idée. La
séquence, assez
longue, a une introduction, un corps ou développement pro-
prement dit et une sorte
de conclusion. Cela a son importance.
L’introduction consiste à affirmer (IV Partie, AT VI, p. 32) que les sens
nous
font imaginer ce que sont les choses et que cela entre dans l’esprit. Mais
celui-ci peut feindre que ce qui est proposé ainsi à son assimilation ne soit pas vrai. C’est-à-dire que l’esprit a une faculté de jugement
suspensive en matière
de vérité ou de réalité. Toutefois cette faculté n’a pas droit
d’exercice incondi-
tionnel. On ne peut pas feindre la non-existence du moi pensant,
ni la fausseté
des conceptions claires et distinctes. Il est, à mon avis,
remarquable qu’avant
de prononcer le mot idée Descartes s’exprime à l’aide des
verbes feindre et
concevoir et souligne que la qualité «claire et distincte», dans
le second cas,
limite le pouvoir de fiction (AT VI, p. 33, 1. 20-23).
Le développement dans lequel apparaît idée est ensuite motivé
explicite-
ment par Descartes. Partant de la constatation que dans les choses
matérielles
on est accoutumé à ne rien considérer qu’en imaginant, des philosophes
en
viennent à dire que ce qui n’est pas imaginable est inintelligible (AT VI, p.
37,
1. 4-9). Ils ont tort. L’idée de Dieu et de l’âme prouve
que l’entendement ne se
réduit pas à un exercice sur les données des sens et
celles-ci n’ont aucun privi-
lège d’antériorité ni de priorité. Il y a, au
contraire, une supériorité de l’enten-
dement sur l’imagination que Descartes
caractérise en disant que nos idées ounotions, en tant que
claires et distinctes, viennent de Dieu et sont réelles (AT
VI,
p. 38, 1. 17-24).
Est-ce à dire qu’il n’y a que de telles idées? En conclusion d’une
réflexion
philosophique où la mathématique a sa place — je vais le préciser —
Descartes énonce une belle maxime. La raison ne nous dicte pas que ce que
nous
voyons ou imaginons soit véritable, mais elle nous dicte que nos idées
ounotions doivent avoir quelque fondement de vérité
(AT VI, p. 40, 1. 6-10).
Ainsi Descartes exclut de la dignité de l’idée ce qui ne serait que pure
fiction et
je suis heureux de constater que la constellation des vocables qui
seront au cœur
des discussions mathématiques de la fin du siècle est déjà com-
plète dans le Discours de la Méthode. Et il me semble trouver raison de ce
que
l’auteur de la Géométrie n’ait pas éprouvé le besoin de
faire usage du mot idée
dans ce texte.
C’est que, en fait — comme en prendra conscience un héritier lointain
que je
citerai tout à l’heure — l’économie de la réforme mathématique consis-
te d’abord à
se limiter à l’usage d’idées claires et distinctes, toutes relatives à
la
considération du fini et soustraites à la discussion parce
que réelles. Les choses
ne seront jamais aussi faciles en
Physique. La dernière occurrence de idée dans
le Discours en est l’avertissement.
On lit en effet à la V Partie (AT VI, p. 55) que «la lumière, les sons, les
odeurs,
les goûts, la chaleur et toutes les autres qualités des objets exté-
rieurs [...],
la faim, la soif et les autres passions intérieures peuvent
imprimerdiverses idées [dans le cerveau] par l’entremise des sens».
C’est-à-dire que tout se passe comme si avant de terminer le Discours Des-
cartes avait comme un remords quant à l’insuffisance de son
propos antérieur
selon lequel des données sensibles entreraient seulement dans
l’esprit pour y
être confrontées à l’entendement. Il tient à compléter que ces
données ont des
alliés intérieurs, de telle sorte qu’elles ne se contentent pas
d’entrer, mais
qu’elles impriment. Aussi la
Dioptrique qui fait suite au Discours est-elle l’Essai de
la Méthode où l’on rencontre de plein fouet la
distinction entre idée et image.
Cela ressort à l’évidence de l’attaque que dirige Descartes contre un critè-
re de
ressemblance. D’une part signes et paroles ne ressemblent en aucune
façon
aux choses qu’elles représentent et d’autre part rien n’oblige les
images à res-
sembler en tout aux objets qu’elles
représentent. De ce dernier point, la perspec-
tive fournit illustration puisque la
vue montre des losanges et des ovales là où
l’on a des raisons de savoir ou de
penser qu’il s’agit de carrés et de cercles (cf. Dioptrique,
Discours IV, AT VI, p. 112, 1. 25-28, p. 113, 1. 2-3 et 1. 18-22).
Il m’a paru que ce prolongement des considérations du Discours
dans la
Dioptrique n’est pas à négliger lorsqu’il s’agit de comprendre
les comparaisons
mathématiques que Descartes a placées dans le corps de son
développement
sur le mot idée. Car il faut bien revenir à ces
passages quelque peu énigmati-
ques.
Dans la perspective de l’activité de l’entendement, Descartes déclare
qu’un
géomètre peut en dormant inventer quelque nouvelle démonstration,
de telle sorte que
le sommeil n’empêche pas la vérité d’une idée fort distincte
(AT VI, p. 39, 1. 13-17). Quelle que soit l’appréciation favorable à la
qualité
exceptionnelle de Descartes en matière de mathématiques, il est
difficile
d’admettre qu’il donne là le résultat d’une expérience personnelle
formelle.
Sans doute brode-t-il quelque peu à partir du fait assez commun
qu’au
réveil l’esprit voit apparaître distinctement un enchaînement de raisons
qui
lui échappait avant le sommeil. Au fond il s’agit d’une autre correction à
la
rencontre entre entendement et imagination, qui consiste à affirmer que
le
premier a, avant la seconde, un pouvoir d’impression. Pouvoir révélé par
le
passage à l’état de veille. Je note que Descartes réfère cette révélation à
une
expérience mathématique.
Mais ce type de référence est beaucoup plus étroit lorsque Descartes
entreprend
d’analyser l’idée d'un être parfait. L’idée de
triangle, dit-il, comprend la
propriété que la somme des angles est deux
droits, mais pas l’existence, car il
n’y a peut-être aucun triangle au monde tandis
que l’idée d’un être parfait com-
prend son existence. Et
s’il y a ainsi une différence radicale, il reste que l’idée
d’un être parfait
comprend son existence comme l’idée de triangle
comprend
l’égalité à deux droits de la somme des angles. Comme, aussi, l’idée de sphère
comprend l’égalité des distances à un point
central (AT VI, p. 36, 1. 22-27:
Descartes dit en même façon
que).
Ce «comme» est tout à fait curieux. Il est impossible d’en négliger une
explication.
L’idée de triangle, c’est d’abord l’idée que trois points peuvent être sous-
traits
à la condition d’être alignés. Et c’est ensuite que l’on peut parcourir les
segments
de droite qui les joignent de telle sorte qu’en partant d’un point on y
retourne
sans jamais revenir sur ses pas. Sans doute n’est-ce là qu’un cas très
particulier
et privilégié d’un circuit fermé, mais c’est le plus simple et sur
lequel il est
aisé de raisonner. A chaque changement de direction, il y a rota-
tion d’un angle
qui est supplémentaire (complément à deux droits) de l’angle
intérieur à la figure.
Comme cela se produit trois fois, et que l’on fait un tour
complet, donc quatre
droits, l’arithmétique assure bien que la somme des
angles intérieurs est deux
droits. Il est donc parfaitement exact que cette pro-
priété est contenue dans
l’idée de triangle, mais une idée qui n’est certes pas
première et qui a suivi
l’évolution d’une recherche vers la découverte d’un
caractère essentiel.
Une remarque analogue peut être faite à propos de l’idée de sphère, car ce
n’est pas par hasard que la version latine a traduit par l’idée
de cercle. Sphère
ou cercle c’est d’abord une figure
parfaitement ronde, c’est-à-dire qui ne chan-
ge pas de quelque point où l’on se
place pour la regarder et qui peut aussi se
mouvoir en restant la même, glisser sur
elle-même. Sous ce dernier aspect qui-
conjugue le mouvement et l’immuable,
l’égalité des distances à un point cen-
tral est bien révélée. Le cas est moins
savant que le précédent, mais la leçon
est analogue. Une idée première a provoqué la méditation pour découvrir un
caractère
essentiel.
Cela est bien conforme à l’occurrence latine relevée chez Descartes par
Jean-Robert
Armogathe: « idea repraesentat rei essentiam » mais les exemples
évo-
qués montrent que l’accès à la représentation d’une essence n’est pas
immédiat
et que l’idée part d’une forme approximative pour serrer progressivement
un
contenu.
Est-ce dans ce sens que pour Descartes l’idée d’un être parfait
tire profit des
idées mathématiques? Je crois que oui.
Il est en effet très clair que la notion de perfection, physique ou morale,
est
liée dans le Discours à une méditation sur une application
particulière de la
notion de plus et de moins.
On ne déforme pas ce qu’a écrit Descartes (AT VI p. 34 1.13-16) en
disant: «L’idée
d’un être plus parfait que le mien ne peut venir du néant, et il
y a répugnance que
le plus parfait soit une suite ou une dépendance de moins
parfait» (encore que cette
répugnance soit moins forte que celle qui affecte
l’idée que de rien procède quelque
chose).
Dans la mathématique du fini qui est la base de l’économie
cartésienne la
notion de plus et de moins a un caractère essentiel, c’est elle qui
permet de
parler de «grandeurs», et elle est normalement corrélative. Elle est le
fonde-
ment de classements bien ordonnés sur des collections d’objets
abstraits
dénombrables (le dénombrable pouvant d’ailleurs être
indéfini, sans limites),
classements pouvant être lus dans un sens ou dans
le sens opposé. Le cas des
nombres introduit seulement la nécessité de précautions
de langage. Il n’y a
pas de nombre plus grand que tous les autres, car l’addition de
l’unité assure
toujours une suite, qualifiée de plus grande,
et en sens inverse les fractions de
numérateur 1 sont indéfiniment petites, mais de
telle sorte qu’il n’y en a pas
une plus petite que toutes les autres.
Descartes n’a pas pris parti, que je sache, sur une question pourtant soule-
vée en
son temps, à savoir si l’on peut donner à zéro la dignité de nombre,
mais il est
certain qu’il a partagé les hésitations de beaucoup de ses contempo-
rains devant la
spéculation de Galilée sur la chute d’un corps pesant abandon-
né à lui-même et
partant du repos pour acquérir aussitôt un mouvement. Le
passage d’une vitesse nulle
à un certain degré de vitesse lui a toujours paru une
notion suspecte. Autrement dit
sa réflexion mathématique lui rendait familière
l’idée de l’indéfìniment petit et de
la descente vers zéro, mais s’opposait à
l’idée inverse d’une remontée ou sortie à
partir de zéro.
Ceci étant, les déclarations de Descartes relevées plus haut concernant
le
classement des êtres en perfection ont un substrat mathématique évident.
Elles
constituent la perfection comme une qualité positive susceptible de
degrés, mais
telle que la corrélation complète du plus et du moins serait à
rejeter et que le classement correspondant des êtres ne peut se lire
qu’en
descendant.
S’il «répugne» à Descartes qu’il en soit autrement c’est sans doute qu’il
s’appuie
sur une expérience humaine commune. Seule la conscience d’un
défaut, d’une
imperfection, n’est pas illusoire. La nécessité de privilégier l’or-
dre dans le
sens descendant entraîne priorité d’existence du haut vers le bas.
Aussi il en résulte que s’il y a analogie mathématique, précisément au bas
de
l’échelle, l’analogie est impossible de l’autre côté. Il doit exister un être
plus
parfait que tous les autres, ou le plus parfait, ou encore absolument parfait.
Le
postulat est indispensable à la cohérence d’un classement effectué sur un
prin-
cipe d’ordre à sens unique du plus vers le moins.
Dans la mesure où Descartes a explicité ce principe à sens unique en
matière de
comparaison relative des êtres, en perfection, la dissociation est
impossible à
imaginer en sa pensée avec la spéculation mathématique. Et lors-
qu’il dit que
l’idée d’un être parfait — c’est-à-dire absolument parfait — com-
prend son
existence comme l’idée de triangle comprend l’égalité de la
somme
des angles à deux droits, le comme «signifie une
analogie en profondeur», au
niveau d’une implication logique. C’est à ce niveau que
l’idée de triangle ou
de sphère est suggestive. De l’idée «d’un être plus parfait
que le mien» Descar-
tes est passé, par implications successives et emboîtées l’une
dans l’autre, à
l’idée de l’être parfait et à l’idée de son existence.
Voilà ce qui a motivé le long examen que je viens de faire, malgré la
remarquable
enquête de Jean-Robert Armogathe dans l’ensemble du corpus
cartésien. Si Descartes
n’a pas utilisé le mot idée dans sa Géométrie , c’est que
l’économie de celle-ci ne comportait pas au niveau des
concepts la démarche
évolutive que l’auteur, pour des raisons d’ailleurs tirées
d’exemples mathémati-
ques, estimait nécessaire à un résultat digne d’une
désignation spéciale. Cela
me paraît important pour nos propos, ici.
Et cela compense largement la déception qui résulte d’une enquête
sérieuse bien que
non informatique. Je n’ai pas trouve le mot idée dans
les
œuvres mathématiques représentatives de l’art analytique qui se sont
succédées
en langue française jusqu’à la fin du XVII siècle. J’ai dù aller jusqu’à
la Sciencedu Calcul (1714) de l’oratorien Charles-René
Reyneau pour trouver dans la Pré-
face la déclaration suivante, solennelle et
significative.
Les mathématiques se sont toujours distinguées par leur certitude. Cette
certitude
leur vient de deux causes. La première est qu’elles ne s’appliquent
qu’à des objets
dont on a des idées claires et distinctes. Car il n’y a pas
d’objets
dont on ait des idées plus claires et plus distinctes que celles que nous
avons
des nombres, des trois dimensions de l’étendue, et de toutes les grandeurs
dont
on cherche à connaître les rapports en mathématiques.
Non seulement l’inspiration cartésienne de ces lignes est évidente, mais
on y trouve de manière formelle le groupement si célèbre entre les adjectifs clair et distinct et le mot idée, alors que sous la plume de Descartes ces
adjectifs
s’appliquaient à des pensées ou à des conceptions avec seulement un voisinage de
idée. Découvrir le groupement en question dans la Préface d’un
ouvrage de
didactique mathématique de 1714 et constater qu’il faut aller jusqu’à
cette date
pour le trouver, cela confirme à mon avis la méfiance des têtes
mathémati-
ciennes pour toute spéculation sur l’objet mathématique qui aurait
tendance à
oblitérer l’opératoire par rapport au mental.
Et je dois ouvrir une courte parenthèse. La méfiance en question n’existe
plus
aujourd’hui, à tel point que ce qui intéresse les mathématiciens modernes
lorsqu’ils
veulent bien considérer l’histoire de la mathématique, c’est de situer
la victoire
de ce que l’on appelle le «fornalisme». Comme si l’avènement de ce
formalisme
n’avait pas été l’affaire d’une lente évolution, la lenteur ayant des
raisons
profondes et dignes de considération. La constatation que je viens de
faire et de
soumettre à l’attention, à propos du texte de Reyneau, me paraît
avertir du danger
de visions trop simplistes.
Car si cet auteur veut bien indiquer qu’il y a une mathématique de base
relevant
des idées claires et distinctes, à savoir la mathématique des propor-
tions, il sait
évidemment que quelques années plus tôt il a été obligé dans son
Analyse démontrée (1708) de mentionner la mathématique nouvelle
du calcul dif-
férentiel et intégral.
Or qu’a-t-il dit au sujet des infiniment petits dont les Anciens usaient
avant les
modernes?
Les nouveaux géomètres n’emploient les mêmes différences infiniment
petites que
pendant la résolution des problèmes, ils ne les conçoivent réelles
etsubsistantes que pendant leur calcul, et au moment qu’il [le calcul] leur
a donné
la résolution, ils supposent que les différences s’évanouissent et
deviennent
nulles.
Et un peu plus bas:
La seule différence est que les Anciens ne faisaient que des démonstra-
tions qu’on
appelle per absurdum et que les nouveaux calculs démontrent
tout
directement (Analyse démontrée tome II, préface, p.
XIV).
Ainsi Reyneau usait lui-même d’un argument à deux étages. Le dernier,
que je viens
de détacher, ne lui était pas spécial. Leibniz l’avait employé en
1698 lorsqu’il
affirmait à Jean I Bernoulli que l’on peut «fermer la bouche»
aux opposants du fait
que les résultats obtenus par le nouveau calcul sont les
mêmes que ceux donnés par
la méthode d’exhaustion des Anciens. Mais Leib-
niz avait très vite compris les
limites de cet argument. C’est que le nombre de
résultats sans correspondance avec
l’héritage antique ne cessait de croître. Aus-
si la controverse en France, violente
en 1700-1702, avait-elle exigé de Leibniz
un effort pour répondre à la question quid est? à propos des
infinis, petits et
grands, introduits dans le calcul. Je renvoie pour cette histoire
à une annexe
spéciale, seule convenable. Je retiens seulement ici la conclusion qui
nous inté-
resse: l’objet de la controverse, dit Leibniz, concerne des choses idéales ou desfictions bien fondées.
Tous les mots sont ici lourds de sens. Il ne s’agit pas seulement d’idées
mais de ce qu’elles entraînent comme choses
introduites dans le calcul, de telle
sorte que le mot faction
serait insuffisant et que c’est le mot fiction qui
vient
naturellement sous la plume de Leibniz pour exprimer l’union de l’idée et
de
l’opératoire mathématique.
Bien entendu, tout est suspendu à l’adjectif bien fondé et je ne
saurais m’en-
gager dans la discussion correspondante. Je note seulement qu’il y a
différence
avec ce que Reyneau concevait un peu plus tard comme explication. A
savoir
– c’est la première partie de la citation ci-dessus — que le caractère
éphémè-
re d’objets qui ne sont introduits que pour la durée du calcul, et
disparaissent
ensuite, dispense de s’interroger sur ce qu’ils sont. Le moins que
l’on puisse
dire est que pour Reyneau, ces objets ne méritaient pas la qualification
d’idées
claires et distinctes.
Fontenelle, le célèbre secrétaire perpétuel de l’Académie Royale des
Sciences, l’a
dit en 1727 dans la préface de ses Eléments de la géométrie de
l’infini.
Parlant du succès du calcul différentiel et intégral de Leibniz,
il ajoute:
Il faut convenir cependant que toute cette matière est environnée de
ténèbres assez
épaisses et de là vient que quelques-uns de ceux qui embrassent
les idées de l’Infini ne les prennent pourtant que pour des idées de pure suppositionsans réalité, dont on ne se sert que pour arriver
à des solutions difficiles, qu’on
abandonne dès qu’on y est arrivé et qui
ressemblent à des échafaudages qu’on
abat aussitôt que l’édifice est construit.
Le style sacrifie évidemment à l’élégance. En écrivant Infini
avec la majus-
cule initiale Fontenelle caractérise en quelque sorte la consistance
propre de
tout un domaine de pensée et d’activité mathématique, et la formule «les
idées
de l’infini» est plus belle que précise. Toutefois elle marque que le mot idée est
doté d’une vertu de rassemblement: si l’Infini est un domaine, vaste et diversi-
fié, c’est par
rapport à la notion d'idée que se maîtrise sa diversité. Et la
notion
prend un tour particulier quand il s’agit des objets du calcul de l’infini:
ce sont
des idées de pure supposition sans réalité.
Sans doute Fontenelle était-il davantage littérateur que mathématicien,
mais c’est
précisément à cause de ses succès littéraires que son influence est à
prendre en
compte. C’est un fait que l’expression qu’il a donnée à ce que
Leibniz appelait fiction se retrouve sous-jacente à la fin du siècle sous la
plume
du mathématicien Lagrange, avec seulement le souci de récupérer ce à quoi
Fontenelle n’était pas sensible, c’est-à-dire le souci d’un fondement et
l’exclu-
sion de l’arbitraire pur et simple.
Voici en effet ce qu’écrivit Lagrange dans l’introduction de sa Théorie desfonctions analytiques (1797):
Les premiers géomètres qui ont employé le calcul différentiel [...] Font fondé sur la considération des quantités infiniment petites de
différents ordres
et sur la supposition qu’on peut regarder et traiter comme égales les
quantités qui
ne diffèrent entre elles que par des quantités infiniment petites à
leur égard.
Contents d’arriver par les procédés de ce calcul d’une manière prompte
et sûre
à des résultats exacts, ils ne se sont point occupés d’en démontrer les
princi-
pes.
Ceux qui les ont suivis (Euler, D’Alembert, etc.) ont cherché à
suppléer
à ce défaut en faisant voir [...] que les rapports
des différences infiniment peti-
tes, seules quantités qui interviennent réellement dans le calcul, ne sont autres cho-
ses que les
limites des rapports des différences finies ou indéfinies (p. 2).
Mais il faut
convenir que cette idée, quoique juste en
elle-même n’est pas assezclaire pour servir de
principe à une science dont la certitude doit être fondée
sur
l’évidence. D’ailleurs il me semble que (le calcul tel
qu’on l’emploie sur les
quantités supposées infiniment
petites conduit à ce que) la véritable métaphysi-
que de ce calcul consiste en ce
que l’erreur résultant de cette fausse supposition
est
redressée ou compensée par celle qui naît des procédés mêmes du calcul
suivant
lesquels on ne retient dans la différenciation que les quantités infini-
ment
petites du même ordre.
Newton, pour éviter la supposition
des infiniment petits, a considéré les
quantités mathématiques comme engendrées par
le mouvement [...]. La mé-
taphysique paraît plus claire parce que tout le monde a
ou croit avoir une idée
de la vitesse. Mais d’un côté, introduire le mouvement dans
un calcul qui n’a
que des quantités algébriques pour objet c’est y introduire une idée étrangère
[...], de l’autre il faut bien avouer qu’on
n’a pas une idée bien nette de ce que
c’est que la vitesse d’un point à chaque
instant (p. 3).
J’ai souligné dans ces citations les termes qui forment constellation autour
de idée chez un mathématicien illustre auquel l’art analytique doit
une exten-
sion considérable et qui a eu une influence incontestable sur le XIX
siècle. Je
ne sais pas si Lagrange — dont la culture était vaste — avait
effectivement lu
Fontenelle, comme je ne sais pas si Fontenelle avait effectivement
lu Reyneau
et connu la position de Leibniz exprimée dans une lettre à Varignon. Je
ne nie
évidemment pas l’intérêt qu’il peut y avoir à s’assurer de transmissions
par
lecture ou information. Mais il me semble – et c’est bien le cas de le dire
ici
– que les idées ont une sorte de vie propre quelque peu
transcendante aux
esprits qui les véhiculent.
Et je note que la conscience d’un Lagrange ne rejetait pas, à la fin du
XVIII
siècle, l’emploi du mot idée pour caractériser le ressort profond
de l’ac-
tivité mathématique, avec des nuances bien intéressantes. Il n’est pas
question
en mathématiques d’admettre une idée qui ne soit pas fondée, mais il peut y
avoir des idées justes et en même temps insuffisamment claires. Il arrive même,
comme dans le cas de la vitesse d’un
mouvement en un point, que l’on croieavoir
une idée alors qu’il n’y a rien de net à l’appui. Sans
que le mot soit pronon-
cé, il y a dans le fait d’avoir une idée, une part
importante de fiction et elle peut
aller jusqu’à l’usage
d’une fausse supposition. C’est-à-dire que là où un
Leibniz
n’admettait que la fiction bien fondée, et bien
fondée a priori, un Lagrange, fort
des résultats du développement de l’art
analytique, justifie a posteriori le fon-
dement par une compensation d’erreurs.
Le moins que l’on puisse dire est que cette conception, qui fut en son
temps très
commune, n’est pas particulièrement claire...: elle résulte en fait
d’une
constatation: la part de fiction que le mathématicien met dans
une idée
n’est pas mise en question lorsque l’usage de cette
idée ne conduit pas à des
contradictions.
Il me semble que mon propos s’achève ainsi sur une leçon intéressante.
En deux
siècles de succès l’art analytique n’est parvenu à s’apprivoiser à l’idée
que par la confiance dans l’épreuve de la fiction. Oserai-je le dire: cette épreuve
n’est jamais définitive.
Annexe
LEIBNIZ ET LA NOTION DE FICTION BIEN FONDÉE
Mon propos est de m’attacher à l’expression de Leibniz lorsque le 20 Juin
1702 il
parle à Varignon de «fiction bien fondée». C’est une expression fran-
çaise. Telle
quelle je ne l’ai pas retrouvée ailleurs sous la plume de Leibniz et
je ne sache pas
qu’elle existe sous sa plume en latin ou en allemand. J’aurais
tendance à dire qu’il
s’agit d’un hapax et en admettant même que ma connais-
sance des textes soit mise en
défaut, je ne crois pas qu’elle puisse l’être beau-
coup. C’est-à-dire que
l’expression considérée n’est peut-être pas un hapax, lié
à un contexte de langue
française, mais que son occurrence est néanmoins
quasi singulière. Et le traitement
informatique des textes montre depuis une
dizaine d’années combien les phénomènes de
ce genre sont dignes d’attention.
Ils manifestent en général chez un auteur
l’achèvement d’un cheminement
plus ou moins long, la découverte d’une formule
satisfaisante pour condenser
la vérité d’une pensée. Je veux essayer de voir si la
«fiction bien fondée» ren-
tre dans cette perspective.
C’est dès le début de 1702 que Leibniz a dû intervenir pour soutenir Pier-
re
Varignon dans le débat suscité à l’Académie Royale des Sciences par Michel
Rolle,
contre le calcul différentiel et intégral. Il faut donc examiner la corres-
pondance
qui remonte à quelques mois avant la déclaration qui nous intéresse
ici.
Dans la longue lettre de Leibniz à Varignon du 2 février 1702, on lit que
les
«racines imaginaires comme √-2 ne laissent pas d’être utiles et
même
nécessaires à exprimer des grandeurs réelles», puisque le développement
de
l’analytique prouve l’intérêt «des idées propres à abréger les raisonnements
et
fondées en réalités», enfin qu’«il ne faut point s’imaginer que
la science de l’infini
est dégradée par cette explication [introduction de
l’incomparable] et réduite à
des fictions» (Math. Schr. IV,
p. 92-93). Le 14 avril suivant Leibniz déclare à
Varignon: «J’avais écrit il y a
déjà quelques années à M. Bernoulli de Gronin-
gue que les infinis et infiniment
petits pourraient être pris pour des fictions
semblables aux
racines imaginaires sans que cela dût faire tort à notre calcul,
ces fictions étant
utiles et fondées en réalités». Dès lors la «fiction bien fondée»
de
Juin 1702 apparaît bien comme l’achèvement d’un cheminement dont les éta-
pes
sont d’ailleurs éclairantes.
Je note d’abord que c’est en vain que, pour suivre la déclaration du 14
avril, on cherche dans la correspondance de Leibniz avec Jean I Bernoulli
une
confirmation explicite, au sens strict.
Il y a cependant une expression très voisine à la date du 7 juin 1698. A la
suite
du débat avec Nieuwentijt Leibniz écrit à Jean Bernoulli:
Fortasse infinita quae concipimus et infinite parva imaginaria
sunt sed apta
ad determinanda realia ut radices quoque imaginariae facere soient
(Math. Schr.
III/2 p. 499).
Dès lors, si l’on met à part le fait que Leibniz, faisant le 14 avril
1702
référence à sa correspondance antérieure avec Bernoulli, emploie le mot fiction
là où il disait imaginaria, il
y a apparemment homogénéité parfaite des contenus
à cinq ans de distance. A savoir
que l’analogie avec l’usage des imaginaires en
algèbre est fondamentale pour une
saine conception des notions infinitistes.
D’aucuns en déduiront que l’apparition du
mot fiction est donc d’importance
mineure.
C’est ce que je conteste. Il y a lieu en effet de considérer avec attention
les
propos de Leibniz. L’analogie avec l’imaginaire algébrique est en 1695 pré-
sentée
sous l’adverbe fortasse et cette nuance reste manifestement
sous-jacente
dans les lettres de février et avril 1702 ci-dessus citées.
Il faut évidemment citer davantage pour en rendre compte. Après avoir
évoqué les
racines imaginaires de l’algèbre, Leibniz déclare le 2 février qu’il
est:
impossible par exemple d’exprimer sans intervention des imaginaires la
valeur
analytique d’une droite nécessaire à faire la trisection de l’angle donné,
comme on
ne saurait établir notre calcul des transcendantes sans employer les
différences qui
sont sur le point d’évanouir, en prenant tout d’un coup
l'incompara-blement petit au lieu de ce qu’on peut assigner toujours plus
petit à l’infini.
Ainsi l’analogie pressentie brièvement en 1698 par «apta ad determinan-
da
realia ut radices imaginariae» s’est révélée avec le temps
plus délicate à
expliciter. S’il est aisé en effet de constater que les formules de
Cardan utili-
sées avec les imaginaires donnent pour une équation du 3 degré des
valeurs
réelles de racines que le transfert dans l’équation authentifie, il est
moins faci-
le de produire des exemples permettant de déclarer réels les résultats
du Calcul
différentiel et intégral. La preuve de réalité est indirecte. Elle réside
dans
l’identité des résultats avec ceux obtenus par les méthodes anciennes d’
exhaus-
tion. Leibniz n’en a pas fait mystère. Le 31 décembre 1700 il a écrit à
Jean
Bernoulli:
Perutile est os [adversarii] occludi per reductionem ad demonstrationes
veterum
more formatas (Math. Schr. III/2 p. 644).
Mais s’il est possible de fermer la bouche de l’adversaire en lui montrant
que l’on
aboutit plus vite et plus aisément à des résultats qu’il admet, il est
moins commode de caractériser pourquoi. Aussi la formule du 2 février 1702
est très
intéressante.
Les démonstrations more veterum se ramènent toutes à conclure
une égalité
du fait d’une différence inassignable, plus petite que toute donnée.
«Prendre
tout d’un coup l’incomparablement petit», ce n’est donc pas autre chose
que
changer la place de cette notion, l’introduire à l’origine
des opérations de calcul
en lui donnant un nom, et avoir la confiance que cela
n’attente pas à la struc-
ture des raisonnements.
Toutefois il est évident que cette formulation; heureuse, marque une dis-
tinction
avec l’imaginaire algébrique, car pour celle-ci la confiance en son opé-
ratoire est
essentiellement assurée a posteriori. Aussi Leibniz, après avoir
énoncé que les
opérations de l’algèbre sont «fondées en réalités» — de réalité
signifiant les
vérifications ou absences de contradiction a posteriori —, éprou-
ve le besoin de
déclarer que les infinis de son Calcul ne se réduisent pas à
des fictions. Le mot fiction qui
apparaît dans le texte du 2 février 1702 est appelé par
la nécessité de bien
exprimer la différence entre le calcul algébrique et le cal-
cul différentiel à
travers ce qu’ils paraissent avoir en commun. Dans les deux
cas, avec l’imaginaire
et les infinis on nomme, donc on feint des
êtres mathémati-
ques et il y a analogie bien exprimée par le mot fiction. Mais dans le second cas,
celui des entités du Calcul différentiel
et intégral, il n’y a pas de réduction à une
fiction qui ne
serait simplement justifiée qu’a posteriori. Il ne s’agit pas d’une
pure fiction.
Je ne saurais nier que la longue lettre du 2 février 1702 offre des difficul-
tés
parce que du début à la fin Leibniz varie quelque peu dans ses expressions,
mais à
travers ces variations un thème s’affirme.
L’analyse mathématique ne saurait dépendre des controverses métaphysi-
ques car
s’il est impossible d’assurer qu’il y a dans la nature des infiniment
petits ou
grands à la rigueur, cela n’empêche pas que «l’infini à la rigueur doit
avoir sa
source dans l’interminé, sans quoi je ne vois pas moyen de trouver un
fondement
propre à le discerner du fini». Peu importe que cette citation expli-
cite figure
sur la minute de Hanovre dans des conditions qui ont fait douter
Gerhardt de sa
présence dans la lettre effectivement adressée à Varignon. Il
n’y a aucum doute qu’à
la suite, Leibniz déclare qu’il a crû suffisant, dans
son
élaboration mathématique «d’expliquer l’infini par l’incomparable» et que
plus
loin, après avoir affirmé la non réduction pure et simple à une fiction, il
ajou-
te:
Il reste toujours un infini syncatégorématique, comme parle l’École.
C’est-à-dire que quelles que soient les chicanes et les subtilités que l’on
puisse
opposer, les aristotéliciens eux-mêmes admettent, au fond, l’infini
potentiel, et
Leibniz n’en demande pas plus.
Jusque-là, tout va bien. Mais voilà qu’en poursuivant sa lettre, Leibniz a
comme un
regret. Revenant encore à l’analogie, il énonce que de même que
les imaginaires,
les infinis et infiniment petits sont tellement fondés que tout se fait dans
la
Géométrie, et même dans la nature, comme si c’étaient de
parfaites réalités.
Et au cours du paragraphe de conclusion, il énonce que les choses idéales
n’existent
peut-être pas dans la nature, mais qu’«en récompense le réel ne lais-
se pas de se
gouverner par l’idéal et l’abstrait».
Autrement il n’y aurait point de science ni règle, ce qui ne serait point
conforme
au souverain principe.
Ainsi il est clair que Leibniz n’a pas achevé sa laborieuse missive du 2
février
1702 sans essayer de donner à l’expression «fondé en réalités» un sens
qui soit en
définitive applicable aussi bien aux imaginaires de l’algèbre qu’aux
entités
infinitistes. Et c’est pourquoi le 14 avril il emploie l’expression, comme
je l’ai
noté plus haut, en faisant référence à sa correspondance antérieure avec
Jean
Bernoulli.
Mais le 20 juin il ne le dit plus. C’est que dans l’intervalle Varignon lui a
appris
que Fontenelle, le célèbre secrétaire de l’Académie Royale des Sciences,
préparait
une métaphysique du Calcul de l’infini. Et du coup Leibniz a pris
conscience du
danger.
Entre nous — écrit-il — je crois que Mr. de Fontenelle a voulu railler
lorsqu’il a
dit qu’il voulait faire des éléments métaphysiques de notre Calcul.
Pour dire le
vrai, je ne suis pas trop persuadé moi-même qu’il faut considérer
nos infinis et
infiniments petits autrement que comme des choses idéales ou
comme des fictions bien
fondées (Math. Schr. IV p. 110).
Ainsi Leibniz a fait l’aveu de sa propre incertitude et la «fiction bien fon-
dée»
est une formule qui conclut un chemin sinueux. Chemin dont les étapes
sont très
nettes: fiction certes, mais pas du tout pure et simple, donc fondée.
Fondée
comment? «En réalités». C’est trop dire puisque des esprits distingués
se
méprennent. Alors il faut se résoudre à dire simplement bien
fondée.
Peut-être Varignon aurait-il embarrassé Leibniz en lui demamdant ce
qu’il faut
entendre très précisément par là. Peut-être Leibniz lui aurait répon-
du que la
formule, éminemment syncatégorématique, renvoyait à tout ce qu’il
avait expliqué
antérieurement.
Mon propos ne saurait en tout cas s’arrêter sur la constatation d’un che-
min
sinueux. J’ai pensé utile de chercher si Leibniz parlait ailleurs de fiction et
de
fondement.
Il me semble que le mot de fiction vient d’abord sous sa plume en matiè-
re de droit
et de politique. Dans un texte que Grua situe aux environs de
1695, on lit:
Lorsqu’on se feint conseiller et ministre d’État d’un prince ennemi, on
pense à ce
qu’il pourrait penser et entreprendre et à ce qu’on pourrait lui
conseiller [...].
Cette fiction excite nos pensées et m’a servi plus d’une fois à
deviner au juste ce
qui se faisait ailleurs.
Et dans un autre texte, daté celui-là de juillet 1696, Leibniz déclare qu’il y a:
un genre de présomption à laquelle on ne peut opposer aucune preuve
contraire et qui
diffère à peine d’une fiction.
Entre 20 occurrences, j’ai retenu ces deux-là comme significatives de ce
que
l’activité de Leibniz dans des domaines assez éloignés de la mathématique
l’avait
déjà conduit, à la veille des objections de Nieuwentijt, à réfléchir à la
notion de
fiction. C’est bien une fiction que de se mettre en pensée à la place
de
l’adversaire ou de l’ennemi, mais l’expérience prouve que c’est utile et que
cela
aide à «deviner juste». Présumer diffère à peine de feindre, mais c’est tout
de même
permis lorsqu’on ne peut opposer aucune preuve contraire.
Sautons quelques années. Dans les Nouveaux Essais sur l’entendement
humain
(1704), le dialogue entre Philarète et Théophile contient bien des
passages
caractéristiques. Par exemple, à propos de l’adage du droit romain «pater
est
quem nuptiae demonstrant», Théophile (Leibniz) souligne que «la
substitution
de l’institutif au naturel n’est que présomption quelquefois,
c’est-à-dire juge-
ment qui fait passer pour vrai ce qui peut-être ne l’est pas» et
que «cette pré-
somption juris et de jure se réduit à une fiction» (Phil. Schr. V, p. 231). Et un
peu plus loin (p. 235-36)
Philarète n’est pas blâmé de dire:
Nous avons ordinairement une notion aussi claire ou plus claire de la
Relation que
de son fondement,
mais Théophile corrige:
On peut dire que ceux qui ne savent point le fondement des relations
n’en ont que
des pensées sourdes et insuffisantes, quoique ces pensées puissent
suffire à
certains égards et en certaines occasions.
Enfin, plus loin encore (p. 250), Théophile propose d’«appeler les idées
vraies ou
fausses par rapport à une autre affirmation tacite qui est celle de la
possibilité.
Ainsi les idées possibles sont vraies et les impossibles sont faus-
ses».
Je crois que cette évolution de la réflexion philosophique de Leibniz
aurait pu
l’amener à identifier la «fiction bien fondée» avec l’«idée possible»,
en y
adjoignant seulement ce qu’il avait dit à Jean Bernoulli: «a posse ad esse
non valet
consequentia» (Math. Schr. III/2, p. 625).
Que conclure en définitive? Leibniz a été incontestablement hanté durant
des années
et dans divers domaines, comme à certains points de vue, par les
notions de fiction, et de fondement; les objections faites à son calcul l’ont aidé
à
clarifier l’application mathématique et on s’instruit beaucoup à suivre ses
efforts.
Bien fonder est resté cependant pour lui un acte qui échappe à une
évidence
rationnelle entière et dont la justification n’est pas séparable de
conséquences a
posteriori. C’est, me semble-t-il, une grande leçon.