L’INFINI DANS LES MATHÉMATIQUES DE LEIBNIZ Eberhard Knobloch ILIESI-CNR

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 L’INFINI DANS LES MATHÉMATIQUES DE LEIBNIZ Eberhard Knobloch Leo S. Olschki Editore Roma pp., (Collana Lessico Intellettuale Europeo, LII) Eberhard Knobloch L’INFINI DANS LES MATHÉMATIQUES DE LEIBNIZ

Introduction

Leibniz ou Théophile dit dans les Nouveaux essais sur l’entendement humain G. W. Leibniz, Nouveaux essais sur l’entendement humain, A VI, 6, Berlin 1962, p. 377.:«Et tout cela fait voir, que l’esprit humain se propose des questions si étran-ges, surtout lorsque l’infini y entre, qu’on ne doit point s’étonner s’il y a de lapeine à en venir à bout». Il distingue, ce qu’il explique dans plusieurs étudesde son séjour parisien, entre trois degrés de l’infiniG. W. Leibniz, Über Spinozas Ethik, A VI, 3, Berlin 1980, p. 385; G. W. Leibniz, Com-municata ex literis Domini Schulleri, A VI, 3, Berlin 1980, p. 282.:

1) l’infini, qui est plus grand qu’un nombre quelconque assignable, par exem-ple l’asymptote d’une hyperbole,

2) le maximum dans un genre, par exemple le maximum de toutes les éten-dues est tout l’espace,

3) tout, c’est l’infini en Dieu qui seul est tout.

Je voudrais discuter seulement les deux premiers degrés de l’infini, enparticulier l’exemple de l’asymptote de l’hyperbole. Elle présente, comme nousverrons, des difficultés particulières, parce qu’elle n’appartient pas seulement àla première classe des infinis. Donc il s’agit des quatre points suivants: 1. lestrois présuppositions, 2. les notions d’infini et d’infiniment petit, 3. le calculavec l’infiniment petit et l’infini, 4. la consistance des explications leibnizien-nes.

Pendant son séjour parisien il développa une théorie des quantités infinieset infiniment petites en même temps qu’une terminologie qui différait expres-sément de Cavalieri, Grégoire de St. Vincent et Galilei. Il s’appuya sur troisprésuppositions essentielles:

1) sur l’axiome que le tout est plus grand que ses parties,

2) sur la géométrie modifiée des indivisibles,

3) sur la méthode des preuves apagogiques.

1.1. L’axiome que le tout est plus grand que ses parties

Leibniz discute l’infini en comparaison avec les opinions de Galilei etGrégoire de St. Vincent. Il refuse la thèse de ces deux auteurs que l’axiomeque le tout est plus grand que ses parties n’est pas valable en ce qui concernel’infini. Il répète plusieurs foisG. W. Leibniz, Accessio ad arithmeticam infinitorum, A III, 1, Berlin 1976, pp. 11, 15;Mathematica, A VII, 1, Berlin 1988, p. 657; Aus und zu Galileis Discorsi, A VI, 3, Berlin 1980,p. 168. qu’il est impossible que cet axiome n’est pasvalable. Il est impossible que le tout équivaut à une partie. Leibniz a tenuferme à cette opinion pendant toute sa vie.

L’importance de cet axiome est éclaircie en particulier par deux problè-mes:

a) Est-ce qu’il y a un nombre infini?

Si l’on présuppose qu’il y a un nombre infini qu’on pourrait appeler lenombre le plus infini ou le plus grand (numerus infinitissimus seu maximus) onobtient une contradiction au sein de cet axiome. Donc ce nombre ne peut pasexister. Vers la fin de 1672, il compare le nombre infini avec zéroG. W. Leibniz, Mathematica, A VII, 1, Berlin 1988, p. 657. ou avecle néantG. W. Leibniz, Accessio ad arithmeticam infinitorum, A III, 1, Berlin 1976, p. 11. ou il identifie ce nombre même avec zéro. Ce n’est pas si absurdecomme on a dit il y a quelques années J. E. Hofmann, Einleitung, A III, 1, Berlin 1976, p. LI.. Car le nombre zéro se substitue aunéant, en quelque sorte à l’ensemble vide. Il n’a, à la rigueur, aucun sous-ensemble sauf lui-même. Ce sous-ensemble est identique avec lui-même.L’axiome n’est pas valable seulement en ce cas. C’est pourquoi Leibniz prenden considération l’identification d’un nombre infini avec zéro laquelle il aban-donna un peu plus tard pendant son séjour parisien.

b) Quelle est la vraie signification des indivisibles?

La réponse concerne le deuxième point.

1.2. La géométrie modifiée des indivisibles

Leibniz souligne plusieurs foisG. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae cuius corollarium est trigono-metria sine tabulis, éd. par L. Scholtz, dans: Die exakte Grundlegung der Infinitesimalrechnung bei Leibniz(Teildruck), Marburg 1934, p. 69. que la géométrie cavaliérienne des indi-visibles est trompeuse si l’on emploie cette méthode dans une forme qui n’estpas mûrieG. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 70.. Son exemple illustre est le paradoxe de l’hyperbole. Il le discutedans le traité sur la quadrature des sections coniques en 1676. Il le discuteavec Jean Bernoulli en 1698, qui l’avait discuté auparavant avec le cartésienBurchard de Volder G. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 69; GM III, 2,pp. 522-524..

D’abord il présuppose le théorème suivant:

Dans une figure analytique simple ynxm = a ou bxm = yn, la zone entredeux ordonnées, l’arc de la courbe et l’axe est à la zone conjuguée entre lesdeux abscisses correspondantes, le même arc de la courbe et l’axe conjuguécomme l’exposant de la puissance de l’ordonnée (variable y) à l’exposant de lapuissance de l’abscisse (variable x).

En cas d’hyperbole conique les zones hachurées sont égales. Donc toutesles zones horizontales jusqu’à A remplissent l’aire 2C2BAM2C, toutes les zonesverticales correspondantes remplissent seulement l’aire 2C2GM2C.

Il s’ensuit qu’une partie est égale au tout. On peut déduire de semblablesrésultats absurdes en cas de toutes les autres hyperboles. L’erreur consiste enidentifiant l’indivisible ou zéro avec l’infiniment petit quoiqu’il y ait une diffé-rence décisive entre ces deux notions.

La dernière abscisse (ultima abscissa) A0B est inégale à zéro. A la rigueur iln’y a pas une telle dernière abscisse. Ce n’est qu’une façon de parler. Car Leib-niz avait précisé la façon cavaliérienne de parler d’une manière analytique, dela manière suivante:

On comprend par «la somme de toutes les lignes droites» la somme detous les rectangles sous les mêmes lignes droites réunies après avoir supposéun intervalle constant, toujours égal et indéfiniment petit (indefinitae parvita-tis)G.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 57..

Leibniz dit «indéfiniment petit», il ne dit pas «infiniment petit» quoiqu’ilait en vue cette notion. Je ne veux pas taire qu’il produit de cette manière unedifficulté grave qui se reflète dans sa correspondance avec Varignon en1701GM IV, p. 89.. Varignon veut identifier l’infiniment avec l’indéfiniment petit de lamême manière que Descartes voulait identifier l’infini avec l’indéfini. Il estcaractéristique que Leibniz ne s’étend pas sur cette identification, tandis qu’ilreprend l’expression incomparablement petit.

Et en fait, en 1675, il avait écrit un manuscrit inédit jusqu’à maintenant«De infiniti et indefiniti differentia» ou «Sur la différence entre l’infini et l’in-défini»Catalogue critique des manuscrits de Leibniz, fascicule II (mars 1672-novembre 1676), réd. parA. Rivaud, Poitiers 1914-1924, n. 909.. Il y discute la puissance d’un binôme et dit: La grande différenceentre l’infini et l’indéfini s’éclaircit à l’aide de cet exemple illustre. Ce qu’il estvalable en ce qui concerne un nombre indéfini, cela n’est pas valable à l’égardd’un nombre infini. «Certe indefinitus terminorum numerus est finitus, nonergo infinitus» ou «en tout cas un nombre indéfini de termes est fini, donc iln’est pas infini».

Jonas Cohn n’avait pas tenu compte de cette différence fondamentalequand – à tort – il voulait remplacer l’infini par l’indéfini dans le cas des troisclasses de l’infini J. Cohn, Geschichte des Unendlichkeitsproblems im abendländischen Denken bis Kant,Leipzig 1896(Hildesheim 1960), p. 173.. Leibniz, il est vrai, facilitait cette confusion. Quand ilexpliquait la directrice, l’axe de la variable x, il l’appelait une certaine droiteA1B2C «indefinitae longitudinis», «d’une longueur indéfinie»G.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., p. 55..

Donc l’explication leibnizienne mentionnée des indivisibles est déconcer-tante, car un théorème important sur des raisons finies ou infinies est basé surle fait qu’une quantité infiniment petite n’est pas une quantité finie. Nousreviendrons plus tard à ce théorème.

1.3. La méthode des preuves apagogiques

On trouve dans le manuscrit mentionné inédit encore une remarque trèssignificative. Leibniz dit que la méthode des quantités infinies est trompeuse.Il faut employer le raisonnement par l’absurde si l’on veut s’appuyer sur elles.C’est pourquoi son traité sur la quadrature des sections coniques repose sur laméthode des preuves indirectesIbid., p. 53.. D’abord il dit qu’il est dangereux de calcu-ler avec l’infini si l’on n’emploie pas le fil d’une preuve. Mais il souligne plu-sieurs fois qu’il convaincra même les sceptiques parce qu’il peut démontrertoujours que l’erreur est plus petite qu’une quantité quelconque donnée.

Il dit littéralement: J’avoue que je ne sais aucune méthode jusqu’à mainte-nant à l’aide de laquelle on peut démontrer une seule quadrature sans le rai-sonnement par l’absurde. J’ai des raisons pour lesquelles je crains qu’on nepuisse pas arriver à ce but à cause de la nature des choses sans les quantitésfictives, c’est-à-dire les infinies et les infiniment petites.

L’avantage crucial de sa méthode consiste en la possibilité de laisser àcôté le procédé partagé en trois parties, d’inscrire et de circonscrire des poly-gones, d’employer une preuve indirecte, et de démontrer que l’erreur est pluspetite qu’une erreur assignable. Il ne faut que comprendre que chaque figurecurviligne est la même chose qu’un polygone avec infiniment de côtés dont lalongueur est infiniment petite: un polygone avec infiniment d’angles (polygo-num infinitangulum)G. W. Leibniz, De superficiebus coniformium rectilineorum inprimis cono scaleno. Et quaedam de solida geometria, A VII, 1, Berlin 1988, p. 150.. La courbe est mise en des pièces infiniment petites (frac-ta). Il n’exclut pas des preuves directes de ces problèmes. Mais il ose affirmerqu’on peut les déduire seulement si l’on admet ces quantités fictives.

Cette énonciation leibnizienne renferme de nouveau une difficulté grave.Car l’implication:

On emploie des quantités infiniment petites ou infinies => on a besoindes preuves indirectes

équivaut à l’implication

On emploie des preuves directes => on n’emploie pas des quantités infi-niment petites ou infinies.

Il répète la première implication encore en 1698 dans sa correspondanceavec Jean BernoulliGM III, 2, p. 524..

2. Les notions d’infini et d’infiniment petit

Leibniz a discuté en détail la notion de l’infini dans la première versionbarrée du scholie appartenant au théorème 11 de son traité sur la quadraturearithmétique des sections coniquesG.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., pp. 62-64.. Ces explications sont particulièrementintéressantes parce que Leibniz ne déduit que pas à pas une caractérisationsatisfaisante de l’infini. Il abandonne vite un premier essai et il donne desraisons dans la deuxième version pour lesquelles la première possibilité consi-dérée est fausse.

Il dit que la considération des espaces dont la longueur est infinie, maisdont la grandeur est finie, est «mémorable» (memorabilis), d’abord il avait dit«admirable». Il cite les auteurs qui ont calculé de telles espaces pour la pre-mière fois, Torricelli, Grégoire de St. Vincent, Huygens et Wallis. En particu-lier il s’occupe de très près de l’opinion de Gaston Pardies sur ces résultats.Pardies les admira dans la préface de ses «Elémens de la géométrie» au plushaut degré G. Pardies, Elémens de géométrie, où par une méthode courte et aisée l’on peut apprendre ce qu’ilfaut sçavoir d’Euclide, d’Archimède, d’Apollonius, et les plus belles inventions des anciens et des nouveaux géomè-tres, Paris 1671. Je cite la cinquième édition: A La Haye 1705, Préface, pp. A7-A8.. Il y dit:

«C’est là qu’on trouvera la nature et la mesure des espaces asymptotiques,dont la connaissance est la chose du monde la plus admirable, et qui fait voirle plus clairement la grandeur et la spiritualité de notre âme, puisque par laseule lumière de son esprit, pénétrant au-delà de l’infini, elle découvre si clai-rement des choses, que nulle expérience sensible ne lui peut apprendre, etqu’aucune puissance corporelle ne sçauroit seulement appercevoir. Ces espacessont d’une étendue actuellement infinie. […] L’infini même tout immense ettout innombrable qu’il est, se réduit néanmoins au calcul et à la mesure de lagéométrie, et que nôtre esprit, encore plus grand que lui, est capable de lecomprendre. De toutes les connaissances naturelles que l’homme peut acquérirpar son propre raisonnement, sans doute la plus admirable est cette compré-hension de l’infini».

Et un peu plus tard il continue: «Oserai-je passer encore plus avant, etdire que dans cette même démonstration on trouve aussi la preuve invinciblede l’existence de Dieu?»

Leibniz commente ces mots d’une manière étonnament prosaïque. Il refu-se de telles déductions. Son ingénuité ne permet pas de cacher que ce n’est pastellement admirable qu’il semble être aux hommes après le premier coupd’oeil. Il lui semble qu’il suffit de discerner la nature de l’esprit et ses opéra-tions du corps ou des choses qui ont de l’étendue et de la masse. L’action del’esprit par laquelle nous mesurons les espaces infinis s’appuie sur une fiction,sur une ligne, qui est terminée selon la présupposition, mais infinie. Il s’éton-nerait beaucoup si quelqu’un pouvait réduire un espace absolument interminéentre la courbe et l’asymptote parfaite (asymptotos perfecta) à un espace fini. Ouau moins à un espace terminé. Leibniz a raturé cette dernière remarqueL. Scholtz n’a pas publié toutes ces variantes dans son édition partielle. On les trouve-ra dans mon édition critique du traité sur la quadrature arithmétique des sections conique quiest sous presse, et qui paraîtra à Barcelone..

Donc Leibniz explique son point de vue parce qu’il se peut que cela sem-ble être paradoxal. Il y a une grande différence entre indivisible et infinimentpetit, entre interminé et infini.

D’abord il discute les deux premières notions. La géométrie des indivisi-bles est trompeuse si l’on ne l’explique pas à l’aide des quantités infinimentpetites. Car on n’emploie pas sûrement les points qui sont vraiment indivisi-bles, mais des lignes, étant infiniment petites et à cause de cela divisibles. Ellessont des «parties infinitésimales» (infinitesimae partes) d’une droite.

2.1. La ligne interminée

De la même manière il y a une différence entre une quantité interminéeet une quantité infinie. Il est très intéressant que Leibniz donne d’abord l’ex-plication suivante:

a) La ligne terminée est d’une certaine manière dans le milieu entre la lignela plus petite et la ligne la plus grande c’est-à-dire la ligne vraiment inter-minée:

linea minima – linea terminata – linea maxima

Il continue en disant que la ligne finie est le milieu entre – mais il s’in-terrompt et commence de nouveau.

b) La grandeur d’une ligne interminée est aussi peu le sujet des considérationsgéométriques que la grandeur d’un point. On additionne ou soustrait envain même infiniment des points. Une ligne terminée répétée à volontépeut aussi peu effectuer ou épuiser une ligne interminée.

Au contraire une ligne terminée est constituée dans un ensemble n’im-porte quel de lignes finies, même si cet ensemble surpasse chaque nombre.Une ligne infinie, terminée se compose de lignes finies. Une ligne finie secompose de lignes infiniment petites, mais néanmoins divisibles.

Donc on ne peut pas dire que la ligne terminée est la moyenne propor-tionnelle entre la ligne la plus petite (le point) et la ligne la plus grande (laligne interminée).

Mais:

Une ligne finie est la moyenne proportionnelle entre une certaine ligneinfiniment petite et une certaine ligne infinie et cela vraiment et exactement,mais non d’une certaine manière. De cette manière Leibniz refuse totalementla première solution.

Désormais il est d’un avis, qu’il communiqua aussi à Jean BernoulliGM III, 2, p. 535.: Iln’existe ni un nombre le plus grand ou un nombre le plus petit ni une ligneminime (linea minima) ou un élément linéaire (elementum lineale). Tandis qu’onpeut employer l’infini et l’infiniment petit dans le calcul ce n’est pas valableen ce qui concerne le minimum, et le maximum ou l’interminé.

Donc Leibniz accepte des lignes infinies différentes et des lignes infini-ment petites différentes. Si l’on choisit une ligne finie quelconque lf on trouveune ligne infiniment petite lip et une ligne infinie li, de telle manière qu’onobtient l’équation:

li : lf = lf : lip

La ligne finie est la moyenne proportionnelle ou on peut déduire l’équa-tion suivante:

l2 f = li • lip

Une telle équation n’est pas toujours valable mais seulement en quelquescas spéciaux, par exemple en cas de l’hyperbole conique.

Si l’abscisse μ(μ) est infiniment petite, l’ordonnée (μ)λ, est infiniment lon-gue, c’est-à-dire plus grande qu’une droite quelconque désignable, le rectangleeffectué par la droite infinie et la droite infiniment petite est égal à un carréfini constant selon la nature de l’hyperbole.

Donc Leibniz définit de la manière suivante: une quantité infinie est unequantité soit terminée soit interminée qui est plus grande qu’une quantitéquelconque assignable ou qu’une quantité qu’on peut désigner par des nom-bres. Une quantité interminée est une quantité où l’on ne peut pas choisir undernier point au moins d’un côté:

quantité infinie

(plus grande qu’une quantité quelconque assignable ou qu’une quantité qu’on peutdésigner par des nombres)

quantité terminée

quantité interminée(sans dernier point au moins d’un côté)

Leibniz ne discute pas la question de l’existence. C’est une tâche du méta-physicien d’examiner si la nature des choses permet de telles quantités. Legéomètre se contente de démontrer ce que s’ensuit de ce qu’on a posé. Il estdu même avis dans la lettre que dans le traité: «On n’a point besoin de fairedépendre l’analyse mathématique des controverses métaphysiques ny d’assurerqu’il y a dans la nature des lignes infiniment petites à la rigueur».

Leibniz étudie la notion de la quantité interminée dans plusieurs manu-scrits écrits pendant la même période, cela veut dire pendant le printemps del’année 1676 G.W. Leibniz, Communicata ex literis Domini Schulleri; Linea infinita est immobilis; De magnitu-dine; Linea interminata; Extensio interminata, A VI, 3, Berlin 1980, nos. 19, 59, 64, 65, 66.. Il dit dans une note marginale d’un écrit de SchullerG. W. Leibniz, Communicata ex literis Domini Schulleri, A VI, 3, Berlin 1980, p. 281.: J’aifait toujours une différence entre immense et interminé, entre celui auquel onne peut ajouter rien et celui qui est plus grand qu’un nombre assignable. Doncil identifie l’infini avec l’immense. Il y cite en exemple aussi l’espace infinientre l’asymptote et l’hyperbole conique.

La série infinie 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 et ainsi de suite dont la somme est 1/0 cor-respond en quelque sorte à cet espace. Il comprend par zéro une quantité infi-niment petite. La lettre de Leibniz à Varignon du 2 février 1702 est bienconnue où il souligne que les lignes infiniment grandes sont pourtant termi-néesGM IV, p. 91.. Il avait ajouté dans une remarque raturée que l’infini pris à la rigueurdoit avoir sa source dans l’interminé, «sans quoy je ne vois pas moyen de trou-ver un fondement propre à le discerner du fini»On trouve une discussion éclaircissante de ce passage dans A.Robinet, Architectoniquedisjonctive automates systémiques et idéalité transcendantale dans l’œuvre de Leibniz, Paris 1986, p. 288..

2.2. L’espace absolument interminé

Il est très intéressant de voir que Leibniz reprend cette question : si l’onpeut réduire un espace absolument interminé à un espace finiG.W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbolae, cit., éd. par E. Kno-bloch (voir note 20), Théorème 14, Corollaire.. Je dois expli-quer d’abord quelques notions et théorèmes afin que nous puissions compren-dre ses remarques.

Il s’appuie sur le théorème suivant (7 du traité): On tire les ordonnéesDnEn par des points quelconques Dn d’une courbe, lesquelles sont perpendicu-laires sur l’axe des abscisses. On tire les tangentes dans les points Dn jusqu’àl’axe des ordonnées. Les points d’intersection soient Tn. On transfère les sec-tions ATn en des ordonnées EnDn prolongées s’il est nécessaire et on obtientles points Fn. Les points Fn se trouvent sur une nouvelle courbe. L’espaceentre l’axe des x, les deux ordonnées et la deuxième courbe est deux fois plusgrand que l’espace entre la première courbe et les deux droites qui lient lespoints frontières avec le centre A.

Leibniz démontre à l’aide de ce théorème de la transmutation le théorè-me suivant:

Si la première courbe est le cercle, le centre A le centre du cercle, deuxespaces entre deux ordonnées, l’axe des x et la nouvelle courbe (la soit-disantfigure des sections) sont l’un à l’autre comme les angles qui correspondent auxpoints Dn du cercle.

Leibniz appelle cette figure la figure des angles.

La preuve: D’après le théorème 7 l’équation suivante est valable: L’espa-ce limité par quatre lignes CAE1F1C = 2 • secteur D1ACD1

A

ou CAE2F2C = 2 • secteur D2ACD2

Donc on obtient: 2(D1 ACD1) / 2(D2 ACD2) = D1 ACD1 / D2 ACD2 = D1C / D2C = ∢ CAD1 / ∢ CAD2

Donc on obtient le corollaire suivant:

L’espace de la figure des : une partie finie CAEFC

angles dont la longeur

est infinie CABG et

ainsi de suite HFC

Leibniz ajoute dans une note marginale barrée plus tard: «L’angle droitsemble correspondre à l’espace absolument interminé. Mais pour la raisonmentionnée dans le scholie du théorème 11 je n’ose pas prétendre à cause decela que cet espace est réduit à un espace fini». Nous avons discuté ce scholieauparavant. Il continue: «Il est sûr que l’angle droit ou bien ne correspond àaucun espace de la figure des angles ou à l’espace absolument interminé».

3. Le calcul avec l’infiniment petit et l’infini

Leibniz dit lui-même, qu’il est dangereux de calculer avec l’infini, si l’onn’emploie pas le fil d’une preuve, c’est-à-dire selon Leibniz, d’une preuve indi-recte. D’après la définiton de l’infiniment petit et l’infini il y a un nombrequelconque de telles quantités. J’ai emprunté toutes les lois au traité sur laquadrature arithmétique des sections coniques. Leibniz les emploie implicite-ment sans les avoir démontrées – sauf la sixième et la huitième loi. Il considé-rait de telles preuves comme inutiles pour la définition de ces quantités. Ilaurait pu donner des preuves indirectes sans plus.

1. fini + infini = infini

2.1 fini ± infiniment petit = fini 2.2 x, y finis, x = y + infiniment petit => x - y ≈ 0(différence inassignable) 3. infini1 - infini2 = infini3, si infini1 > infini2(ou infini1 : infini2 ‡ 1) 4. infini ± infiniment petit = infini 5 fini × infiniment petit = infiniment petit

infini ou

/

6. infini × infiniment petit — fini ou

\

infiniment petit

(on a besoin d’une preuve)

7.1 infini × infini = infini 7.2 xn infini => x infini

fini

/

infini : infini

\

infini

(on a besoin d’une preuve)

9. x infiniment petit, y > 0, y < x => y infiniment petit 10. fini : infiniment petit = infini : fini = infini(plus grande qu’une raison assignable)

Corollaire : fini : infiniment petit = x : fini = > x infini

11. infiniment petit : fini = fini : infini = infiniment petit (infinitésimal)Corollaire : fini : infini = x : fini => x infiniment petit 12. x : y = (x + infiniment petit1) : (y + infiniment petit2)

Les lois 10 et 11 sont particulièrement importantes parce qu’elles permet-tent de démontrer qu’une quantité est infinie ou infiniment petite. Leibnizdiscute la solution de la sixième loi à l’aide de ces deux théorèmes. Le produitde deux facteurs est un rectangle: on doit examiner si ce rectangle est fini,infiniment petit ou infini. Donc l’aire du rectangle est la quantité x dont lagrandeur est cherchée. Leibniz déduit une proportionnalité dont un côté estune raison connue, tandis que la raison de l’autre côté contient la quantité x.Leibniz prouve de cette manière le théorème 21 :

Soit la courbe 0C1C2C une hyperboloïde (une hyperbole d’un degré n’im-porte quel) xnyn = a. Le rectangle sous l’abscisse infiniment petit A0B et l’or-donnée infiniment grande 0B0C est

1) une quantité infinie, si n > m,

2) une quantité infiniment petite, si n < m,

3) une quantité finie, si n = m.

4. La consistance des explications leibniziennes

Nous voulons faire ce qui est la tâche des géomètres selon Leibniz : Nousvoulons examiner ce qui s’ensuit des présuppositions. Or il n’y a aucun douteque Leibniz emploie des formulations qui mènent en apparence ou vraiment àdes contradictions. Nous voudrions considérer les trois exemples suivants.

4.1. La notion de l’asymptote

Il construit (théorème 11) la figure des segments (la figure des sectionsqui commence dans le point A) et prouve que la droite μλ est une asymptotede la courbe par les points Dn. Dans ce but il montre que la courbe n’atteint ladroite en aucun lieu. Il s’appuie sur le lemme qu’il est impossible que les deuxparallèles μλ, AT ont un point commun. Donc nous obtenons l’implication:

Si l’intersection de la droite d et de la courbe c est vide, d est une asym-ptote: d ∩ c = ∅ =>d asymptote. Est-ce qu’on peut renverser cette impli-cation?

D’après Leibniz on peut répondre «oui» et «non». Il dit (théorème 22):Chaque hyperbole d’un degré n’importe quel a tous les deux axes commeasymptotes. Ils ne concourent point ou bien ils ne concourent qu’après unintervalle infiniment long avec la courbe.

Donc on doit constater: d asymptote

ou bien d ∩ c = ∅(théorème 11, scholie: jamais; théorème23: en aucun lieu)

ou bien d ∩ c ‡ ∅8théorème 45)

Néanmoins ce n’est pas une contradiction parce que d’après l’explicationleibnizienne l’infini peut être interminé ou terminé. Si l’on a en vue la pre-mière possibilité, on obtient l’asymptote parfaite qui ne concourt pas avec lacourbe qui appartient à la deuxième classe des infinis. Si l’on a en vue ladeuxième possibilité, on obtient un point commun entre la droite et la courbeaprès un intervalle infiniment long. Leibniz emploie les deux conceptions.

4.2. L’infiniment petit et zéro

Les difficultés sont plus grandes à l’égard de l’infiniment petit. Car l’infi-niment petit n’est pas le terme générique comme l’infini qu’on peut diviser.Leibniz ne connaît pas un schème

infiniment petit

zéro

inégal à zéro

Mais il emploie ce schème de la manière suivante:

infiniment petit

zéro pratiquement,c’est-à-dire en calculant

à la riguer inégal à zéro

Je voudrais illustrer ce fait à l’aide de quelques exemples. Leibniz souli-gne très souvent la différence conceptuelle entre infiniment petit et zéro, parexemple quand il explique le paradoxe de l’hyperbole. Sa définition mathéma-tique de l’infiniment petit semble contredire cette constatation.

L’infiniment petit est défini par «plus petit qu’une grandeur assignable»(minus quavis assignabili quantitate) ou moins précisément «petit à volonté» (utcun-que parvus) et de cette manière aussi «indéfiniment petit» (indefinitae parvitatis).D’après sa méthode des preuves indirectes il montre: Supposé que l’erreur nedevienne pas plus petite qu’une certaine quantité on peut effectuer par unepartition plus fine de l’intervalle ou du polygone que l’erreur devient cepen-dant plus petite que cette quantité.

Cette méthode rappelle la définition arithmétique moderne de la valeurlimite d’une suite. Néanmoins il ne faut pas identifier les quantités infinimentpetites avec des suites convergentes à zéro parce que Leibniz calcule avec cer-taines quantités fixes, dont la valeur dépend de l’interlocuteur fictif. Elles dif-fèrent de zéro, mais elles ne sont pas finies. De même les quantités infiniesdiffèrent des quantités interminées sans être finies. Il dit: Supposé que quel-qu’un conteste ses affirmations il lui montre que l’erreur est plus petite qu’uneerreur assignable et par conséquent (adeoque) zéroG. W. Leibniz, De quadratura arithmetica circuii ellipseos et hyperbolae, cit., p. 58..

Donc on obtient les implications:

infiniment petit = > plus petit qu’une grandeur assignable = > zéro

Donc on devrait déduire : infiniment petit = > zéro

Quoique Leibniz refuse cette conclusion, il emploie les formulations sui-vantes :

a) Soient A, R, S, T des points d’une courbe. On cherche les ordonnéesAA, RD, SF, TH. AA est infiniment petite ou un point (infinite parva seu punc-tum est) (théorème 43).

b) Les puissances positives de zéro sont infiniment petites (théorème41). Il dit déjà dans une étude écrite vers la fin de 1672/le début de 1673 G. W. Leibniz, De potentiis ipsius 0, A VII, 1, Berlin 1988, p. 675.:Toutes les puissances positives de zéro sont égales à zéro ou (seu) infinimentpetites.

c) Le logarithme de zéro, de l’infiniment petit (théorème 45).

La grandeur des points est zéro. On ne peut pas obtenir une lignepar leur multiplication. Mais Leibniz emploie l’expression «point infinitési-mal» (punctum infmitesimum), cela veut dire une certaine ligne (id est linea quae-dam). On peut déduire que Leibniz calcule avec l’infiniment petit comme s’ilest zéro, c’est une quasi-égalité pour lui.

Si l’on considère l’équation CD = DF + FD et si l’on suppose que FD estinfiniment petite, les quantités CD, CF diffèrent d’une manière non assignable(théorème 46: inassignabiliter), on peut les prendre comme un (théorème 48: prouno possunt haberi). Victor Harnik introduit les notions

microscopic equality (=) – macroscopic equality (≈)V. Harnik, Infinitesimals from Leibniz to Robinson, Time to bring them back to school, Themathematical Intelligencer, VIII (1986), pp. 41-47, 63.

ε est infiniment petit, si ε ≈ 0, mais il est valable ε ‡ 0. En fait Leibnizdiscernait ces deux espèces de l’égalité, mais il n’employait jamais deux nota-tions différentes.

4.3. L’emploi d’un nombre infini

Leibniz souligne souvent dans sa correspondance avec Jean Bernoulli,dans les Nouveaux EssaisGM III, 2, p. 535 s.; Nouveaux essais sur l’entendement humain, A VI, 6, Berlin 1962,p. 157.:

«Il n’y a point de nombre infini ny de ligne ou autre quantité infinie, sion les prend pour des véritables Touts. ... Il est vray qu’il y a une infinité dechoses, c’est à dire qu’il y en a toujours plus qu’on n’en puisse assigner. L’infi-ni véritable c’est l’absolu. ... Un infini ne saurait estre un vrai tout.»

S’il calcule avec une quantité infinie, cette quantité est infinie, mais ter-minée. Je voudrais donner deux exemples :

a) Il démontre que la somme de la série infinie

1 + 1/2 + 1/3 + ...

est une quantité infinie (théorème 45). Il la désigne par 1/0 ou A. Afin dedémontrer que la somme des nombres triangulaires réciproques est 2, il calculede la manière suivante:

Soit 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 et ainsi de suite = 2B

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 et ainsi de suite = B (c’est-à-dire il divise lasérie par 2)

= > A - B = 1/2 + 1/3 + 1/4 ... = A - 1

= > B = 1 = > 2B = 2 = > 1 + 1/3 + 1/6

Il emploie une fiction utile qui rend possible des résultats apparemmentcorrects. A vrai dire, en termes modernes il fait aussi une différence entre lesséries convergentes et divergentes. Car il dit qu’on peut démontrer par beau-coup d’exemples que les séries dont la longueur est infinie mais la grandeur estfinie, c’est-à-dire que les séries infinies convergentes sont des vraies quantités.Mais on doit constater à l’égard de toutes les séries infinies que nous ne pou-vons pas progresser jusqu’à l’infini. La nature d’une série infinie est connue sila loi de la progression est claire. L’esprit la parcourt pour ainsi dire dans unseul coup (uno ictu) (théorème 32, scholie).

Dans la mesure où la nature d’une série divergente est connue, on a ledroit de calculer avec elle.

b) Il démontre le théorème suivant (théorème 20):

Soient données trois grandeurs X, Z, V. Que V + Z ait une raison finie àV + Z de l’inégalité, c’est-à-dire la raison n’équivaut pas à l’unité:

(V + X) / (V + Z) ‡ 1

(1) Si X, Z sont finies, V sera aussi finie.

(2) Si X ou Z est infinie, V sera aussi infinie.

La preuve:

Soient X et Z finies. Cela implique que V est finie. Preuve: Supposonsque X et Z soient finies, mais V infinie = > Il s’ensuit de cela: V + X infinie,V + Z infinie (c’est-à-dire Leibiz calcule: finie + infinie = infinie)

= > Il s’ensuit (V + X) - (V + Z) infinie

Car si l’on soustrait un infini plus petit d’un infini plus grand qui ont uneraison finie de l’inégalité le reste est infini. Donc on obtient une contradictionparce que (V + X) - (V + Z) = X - Z est finie selon la présuppostion.

2) Soient X ou Z infinie. Cela implique que V est infinie. Preuve: Pour-vu que Z soit infinie, X finie (sans restriction de la généralité) mais V soitfinie, on obtient V + X est finie, V + Z est infinie.

Donc il s’ensuit une contradiction parce que V + X a une raison finie à V+ Z de l’inégalité d’après la présupposition. Mais ‒ devons-nous constater ‒ laraison fini: infini n’est pas finie, elle est infiniment petite. La contradictionconsiste en le fait que l’infiniment petit n’est pas une quantité finie.

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