De nos jours les mathématiciens eux-mêmes ne res-
sentent point la nécessité de l’infini et en fait ne s’en ser-
vent point, mais seulement d’une quantité aussi grande
qu’on le souhaite.
(Aristote, Physique III 7 207 b 27-32)
L’histoire des efforts pour atteindre un concept de l’infini au sein même
de la catégorie de quantité1 trouve chez Leibniz un point culminant, sans que
cependant (ceci a été rappelé à plusieurs reprises dans ce colloque) l’on puisse
dire que la cause de l’infini categorématique2 sorte grandie de la réflexion de
cet auteur. Pour ce qui est de l’infiniment grand la sentence serait claire dans
les mots si souvent évoqués de Théophile:
Il n’y a point de nombre infini ni de ligne ou autre quantité infinie si on
les prend pour des Touts véritables...
Et un peu plus loin (après avoir rappelé que l’École s’en tient avec raison
à l’infini syncatégorématique):
...l’infini véritable n’est pas une modification, c’est l’absolu; au contraire
dès qu’on modifie on se borne ou forme un fini.3
En ce qui concerne l’infiniment petit on pourrait évoquer des textes de
— 82—
1701 («Journal de Trévoux»), de 1706 (lettre à des Bosses) ou de 1716, qui
paraissent aussi bien définitifs dans le sens d’un rejet4.
De telle manière que le moment leibnizien de l’histoire de la pensée ne
supposerait aucune subversion dans la catégorie qui soutient cette modalité de
rigueur qui caractérise le travail mathématique, la rigueur qui est exactitude.
Un ordre de la quantité strictement respectueux du caractère archimédéen5
continuerait à frapper d’illégitimité tout discours se soutenant dans l’infini:
Ego philosophice loquendo non magis statuo magnitudines infinite par-
vas quam infinite magnas, seu non magis infinitesimas quam infinituplas.6
Georg Cantor cite ce texte de Leibniz dans un travail de 18837 particu-
lièrement expressif de la conscience que l’auteur a de la révolution, aussi bien
mathématique qu’ontologique, que sa théorie des nombres entiers transfinis est
en train d’accomplir. Et nous parlons de subversion aussi bien mathématique
qu’ontologique du fait que la grandeur est d’après Aristote l’un des modes de
distribution de la copule, l’être, considérée comme matrice d’articulation du
jugement. D’où suit que toute modification dans l’ordre quantitatif soit modifi-
cation dans l’ordre tout court.
Or ces Grundlagen nous montrent par exemple que le concept de nombre
(Zahlbegriff) ne comportant tant qu’il s’agit du fini qu’une signification dans
— 83—
laquelle le compte ou numéral (Anzahl) coïncide avec la puissance (Mächtig-
keit)8, vient à se scinder (sich spaltet...) dès lors que l’on arrive à l’infini en
deux concepts (zwei Begriffe), la puissance restant immuable mais le compte chan-
geant selon l’ordonnation à laquelle l’ensemble possédant cette puissance est
soumis.9
Qu’il suffise, pour saisir l’importance de cette scission de rappeler l’une
de ses conséquences, à savoir que des notes inconciliables (unvereinbare Merkma-
le) dans un nombre fini, se trouvent sans contradiction jointes dans un seul et
même nombre infini... alors même que, d’un autre point de vue, ni l’une ni
l’autre ne sauraient être affirmées.
C’est ainsi que le transfini à cardinalité aleph zéro et ordinalité w présente
aussi bien des épiphanies paires que des épiphanies impaires, tout en rejetant
l’un et l’autre de ces caractères.10
— 84—
Le nombre ω nous rend ainsi un écho de cet un qui est du Parménide sup-
portant aussi bien des raisons allant dans le sens de toutes les affirmations que
de toutes les exclusions11. L’évocation donc dans ce contexte (Grundlagen allge-
meiner Mannigfaltigkeitslehre) de la sentence négative de Leibniz prend l’air d’un
défi: «Pas plus, philosophiquement parlant des quantités infiniment grandes
que des quantités infiniment petites...».
Et pourtant... le penseur de Hanovre serait bien obligé, après la con-
struction cantorienne, de reconnaître du moins l’actualité de l’infini de gran-
deur!
En fait Cantor perçoit des hésitations dans la pensée de Leibniz, comme
si l’intuition de celui-ci se trouvait confrontée à une pluralité de phénomènes
mathématiques irréductibles au modèle configurateur de nos représentations
de la quantité. Dès lors, même en absence d’un modèle cohérent lui permet-
tant de franchir clairement le pas qui conduit à l’affirmation de l’infini, la
— 85—
tentation de celui-ci12 se présenterait dans certains textes. Cantor cite celui
bien connu de la lettre à Foucher du 3 août 1693. Ce texte, d’après l’avis auto-
risé des participants à notre colloque, ne témoignerait point d’une prise de
parti en ce qui concerne l’actualité de l’infini mathématique. Le texte n’est en
tout cas évoqué par Cantor que pour servir la cause des transfinis, comme s’il
ne concernait pas l’autre modalité d’infini, celle dont la forclusion dans l’his-
toire de la mathématique et de la philosophie se poursuit bien au-delà de
l’oeuvre de Cantor, malgré celle-ci ou peut-être grâce à celle-ci.13
Et ce n’est point que la question n’effleure pas Cantor. Au paragraphe 4
(p. 172 et ss) du texte, après avoir rappelé la transcendance et fertilité du
concept de bonne ordonnation pour ce qui est de la nouvelle architecture
numérique, les Grundlagen viennent à poser la question suivante:
Puisque l’on est parvenu à élargir le concept de nombre réel à des nom-
bres infinis, ne pourrait-on avec succès analogue (mit gleichem Erfolge) parvenir à
définir des nombres finis lesquels ne coïncideraient pas (nicht zusammenfallen)
avec les nombres rationnels ou irrationnels connus, mais qui seraient encastrés
(einfügen) dans ceux-ci, comme les nombres irrationnels le sont dans la chaîne
(in die Kette) des rationnels ou comme les nombres transcendants le sont dans
la structure (in das Gefüge) des algébraïques?14
La réponse est connue: elle va dans le sens d’un rejet, rejet aux consé-
quences (encore aussi bien mathématiques qu’ontologiques) énormes.
Soulignant d’abord que l’infini impropre (das Uneigentlich-unendlich, c’est-à-dire
la variable grandissant ou s’aménuisant au delà de toute limite)15 est de façon
injuste qualifié par certains philosophes de mauvais (schlechtes), et en précisant
que, bien au contraire, il constitue un instrument tout à fait fertile dans les
mathématiques et les sciences de la nature, il affirme explicitement que cet
infini impropre c’est l’unique forme dans laquelle l’infiniment petit à réussi à
être rempli d’un contenu, celui qui procurent l’analyse infinitésimale et la théorie des
fonctions16.
Par contre tous les efforts (Versuche) visant artificieusement à faire de cet
infini du devenir un infini proprement dit doivent être rejetés puisque man-
quent, tout compte fait, de sens et d’utilité17.
Une précision toutefois: si jamais des quantités infiniment petites vien-
nent à l’existence (c’est-à-dire si l’on réussit à les définir) celles-ci n’auraient
aucune connexion immédiate avec celles qui supportent l’analyse, à savoir l’in-
finiment petit qui devient.18
Affaire donc entendue, ce chapitre 4 des Grundlagen passe à d’autres consi-
dérations19. Et bien! Tout novateur, ou même subversif, qu’il soit par ailleurs
Cantor s’inscrit ici dans une belle et confortable tradition.
Car l’Histoire du Calculus paraît d’emblée coïncider avec le processus de
— 87—
substitution d’une position mathématico-philosophique qui privilégie les infi-
nitésimaux par une position qui met en avance les notions d’approximation et de
limite. Deux phrases de D’Alembert citées par Robinson (et appartenant res-
pectivement aux articles Différentiel et Limite dans l’Encyclopédie) servent à
merveille pour exprimer cette tendance:
Ainsi la Métaphysique de l’infini et des quantités infiniment petites plus
grandes ou plus petites les unes que les autres est totalement inutile au calcul
différentiel.
Par contre,
La théorie des limites est la base de la vraie métaphysique du calcul diffé-
rentiel.
Entre deux métaphysiques, donc, l’enjeu. Une métaphysique des infinité-
simaux qui agonise, face à une métaphysique du rapport intrinsèque et de la
relativité qui s’impose. La révolution e – d serait certes la culmination de cette
tendance (au point que Mario Bunge a pu s’y référer moyennant l’expression
«execution and burial of infinitesimals»). Mais déjà nous aurions dans le baron
de Cauchy un légitimateur quasi définitif de la tendance triomphante. Avec
lui, la technique «standard» moderne du traitement des problèmes analytiques
serait fondée et l’expression infinitésimale reléguée à simple «manière de parler».
En effet:
Après avoir revendiqué la rigueur de la méthode géométrique par opposi-
tion aux raisons excessivement génériques utilisées en algèbre; après avoir sou-
ligné que cette méthode-là doit être celle qu’il convient d’introduire dans les
problèmes du calcul; enfin, après une présentation de la notion de limite com-
me valeur à laquelle s’approchent indéfiniment les points successifs de stabili-
sation d’une variable, le Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique20 nous offre
la définition suivante de quantité infiniment petite:
Lorsque les valeurs numériques successives d’une même variable crois-
sent indéfiniment de manière à s’abaisser au-dessous de tout nombre donné,
cette variable devient ce qu’on nomme un infiniment petit ou une quantité infi-
niment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.
Ce qu’on nomme... infiniment petit. Écho de la phrase de D’Alembert à
la suite du passage déjà cité de l’article Différentiel: «on ne se sert du terme
d’infiniment petit que pour abréger les expressions».
Il suffit de qualifier aussi d’infiniment petit la variable y d’une fonction
y = f(x) au cas où lim x→0 f(x) = 0 pour avoir déjà un infiniment petit (lui aussi
— 88—
purement nominal) fonctionnel. Le chemin est ouvert pour la considération
de la dérivée à partir de la relation variable entre 1’«infiniment petit» de la
variable indépendante, en prenant cette relation à la limite (et non point la
relation des deux limites!).
En fait il est facile de montrer, suivant la lecture de Robinson21, que l’at-
titude de Cauchy est beaucoup plus complexe et le rejet des infinitésimaux
beaucoup moins transparent. Cauchy – pour des raisons bien fondées – se tient
dans une position aporétique qu’en quelque sorte la non-standard analysis viendra
légitimer.
Pour illustrer cette position en apparence éclectique, Robinson citera la
définition par Cauchy de la dérivée:
Lorsque la fonction y = f(x) reste continue entre deux limites données de
la variable x, et que l’on assigne à cette variable une valeur comprise entre les
deux limites dont il s’agit, un accroissement infiniment petit, attribué à la
variable, produit un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.
Par conséquent si l’on pose alors x = i, les deux termes du rapport aux différences
seront des quantités infiniment petites. Mais tandis que ces deux termes s’ap-
procheront indéfiniment et simultanément de la limite zéro, le rapport lui-
même pourra converger vers une autre limite, soit positive, soit négative. Cet-
te limite, lorsqu’elle existe, a une valeur déterminée pour chaque valeur parti-
culière de x;...22
Le côté problématique de cette définition procède de l’expression «un
accroissement infiniment petit». Étant donné le passage cité antérieurement,
on peut certes n’y voir qu’une expression redondante par rapport à l’expres-
sion «ces deux termes s’approchent indéfiniment et simultanément de la limite
zéro». On regrettera cependant qu’à un moment central de sa construction
Cauchy n’ait pas préféré exclure l’expression équivoque. D’autant plus que
loin qu’il s’agisse d’une imprécision passagère, la fidélité de Cauchy à l’expres-
sion problématique est constante... Robinson a beau jeu d’évoquer textes de
1829 et 1844 ainsi que23 la présentation par Cauchy en 1823 de l’intégrale
définie:
D’après ce qui a été dit dans la dernière leçon si l’on divise x-x0 en élé-
ments infiniment petits x1-x0, x2-x1,..., x – xn-1, la somme S = (x1-x0) f(x0) +
(x2-x1) f(x1) + ... + (x - xn-1) f(xn-1) convergera vers une limite représentée par
l’intégrale définie ∫ (x x0) fx dx
D’où cette spectaculaire ré-interprétation de l’oeuvre de Cauchy:
... In Cauchy’s mind a function did not approach its limit directly, but
only via expressions involving infinitesimals.
Ré-interprétation de Cauchy, re-lecture qui derrière les ambiguïtés du tex-
te cherche le substrat qui les rend légitimes, les faisant dépasser le caractère
d’expressions d’une débilité subjective.
Ou bien limite (dans le registre numérique orthodoxe) ou bien infiniment
petit (pas les deux à la fois). Ceci ne saurait échapper au baron de Cauchy, et
pourtant...
Quoique obscurément, dirait Robinson, Cauchy a raison de se référer à la
limite sans renoncer à l’infiniment petit; car dans la chose même il s’agit néces-
sairement des deux. Simplement il est nécessaire de soumettre l’ensemble à
une réordination: le cadre dans lequel limite exprime la vérité en jeu est corréla-
tif de celui dans lequel l’infiniment petit régit. Contemplons en effet les condi-
tions que la non-standard analysis assigne à la dérivée: «f(x) is indifferentiable
at x if and only if the ratio [f(x0+1)-f(x0)]/i has the same standard part d, for
all infinitesimal i≠0, and d is then the derivative of f(x) in the ordinary sen-
se24»25.
La non-standard analysis ne prétend pas désautoriser les propositions des
manuels standard, mais contrairement, les rendre légitimes en montrant leur
corrélat, ombre ou fondement, où l’infinitésimal régit. La vérité unique de
— 90—
l’analyse aurait une double expression: continuiste, relationnelle, qualitative
où seulement la tendance et la limite régissent, d’un côté; ordre irréductible au
registre numérique hérité, infinitude et cependant fidélité stricte à la grandeur,
de l’autre.
Les «monades» quantitatives.
Nous avons vu que Leibniz n’accorde aux infinitésimaux que le statut
d’entités imaginaires26. Or, puisque insérés dans le calcul, les infinitésimaux se
doivent d’obéir aux lois et propriétés qui régissent le registre général de la
grandeur, alors que d’autre part Leibniz dit explicitement que de telles «quan-
tités» sont incomparables relativement aux quantités proprement dites, de telle
manière que si deux quantités a,, b, différaient par un infinitésimal, elles
seraient salva veritate interchangeables27.
Ce statut des infinitésimaux est forcément aporétique tant que nous nous
tenons au registre standard de la droite réelle. Et l’affirmation du caractère ima-
ginaire ne nous tire pas d’embarras, car c’est une chose que ne pas avoir de
statut ontologique objectif et c’en est une autre que de manquer de consistence
logique.
Et bien, l’analyse non-standard vient légitimer le fait que Leibniz se soit
installé dans l’aporie, tout en parvenant à la racheter en lui offrant un modèle
dans lequel deux qui diffèrent par une quantité infiniment petite sont effecti-
vement (dans le registre tout au moins qui intéressait Leibniz) entre eux équi-
parables, sans que pour autant cette petite différence doive être rejetée du
domaine propre de la quantité.
Pour cela faire, l’analyse non-standard soumet la droite réelle à la ré-
interprétation bien connue moyennant laquelle on y trouve:
Un anneau M1 constitué par des nombres a tels que | a | < r pour tout
nombre standard positif r.
Un ensemble *N, dans lequel N est inclus, qui contient des nombres
naturels infiniment grands et constitue un modèle non-standard de l’arithméti-
que (modèle qui garantit le caractère archimédéen de *R).
Des nombres infiniment grands inverses des éléments de M1, c’est-à-dire,
de la forme a-1.
Des classes d’équivalence entourant chacun des nombres réels (standard ou
pas), constituées par une constellation de nombres a, b vérifiant a⋍b, c’est-à-
dire des nombres dont la différence est infinitésimale, constellation pour laquel-
le Robinson choisit le terme de monade. Ceci est bien sûr une métaphore puisque
cette monade est une entité strictement mathématique28. Il s’agit toutefois d’un
clin d’oeil à Leibniz qui constitue à notre avis un véritable hommage.
La relation d’équivalence vérifiée par les couples d’éléments de la monade
garantit, cette fois dans une charpente logique irréprochable, la thèse que Leib-
niz soutenait aporétiquement. Car, s’agissant de nombres finis, deux éléments de
la même monade possèdent dans le registre standard un seul et unique représen-
tant, et ceci implique que sous un certain aspect ils sont égaux29.
Ainsi par exemple, si a est un infinitésimal, alors, quel que soit un nom-
bre positif non infinitésimal r, il n’existe point de nombre naturel n standard
tel que n. a > r, et de ce point de vue précis a est équivalent à zéro. Par
contre, il existe un nombre naturel *n non standard, c’est-à-dire infini, tel que
*n. a > r, ce en quoi diffère tout à fait de zéro.
Quant à l’affirmation du fait que les quantités infinitésimales répondent
aux propriétés des quantités finies, ceci est garanti par un principe fondamen-
tal de la non-standard analysis, à savoir:
Si K est l’ensemble de propositions vérifiables dans le modèle que consti-
tue la droite réelle standard, alors cet ensemble de propositions est aussi véri-
fiable dans le modèle que constitue l’«enlargement» ou extension transgressive
*R de R ; les axiomes, règles et théorèmes qui sont expressifs de la cohérence
de R sont aussi expressifs de la cohérence de *R30.
— 92—
Ceci, certainement, moyennant une ré-interprétation des propositions qui
sont «meaningful and true for the system of real numbers». Voici un exem-
ple:
Soit la proposition valable en R: «pour tout nombre positif a il existe un
nombre n appartenant à N tel que a+a+...+a (n fois) > 1». Cette proposition
demeure-t-elle valable en *R? Nullement, car si a est infinitésimal alors quel
que soit n appartenant à N, nous avons en a+a+...+a (n fois) toujours un
infinitésimal donc un chiffre plus petit que 1. La proposition est cependant
légitime si l’on y introduit une modification: «pour tout nombre positif a il
existe un nombre n appartenant à *N tel que a+a+...+a (n fois) > 1 ».
Modification authentiquement restauratrice du caractère archimédéen, si
l’on considère que *N est l’ensemble concret des nombres naturels comme *R
est l’ensemble concret des nombres réels:
«From now on, we shall refer to all individuals of *R as real numbers,
reserving the name of standard real numbers to the individuals of R»31. D’où
(en réservant l’expression «ensemble des nombres naturels» pour *N): «If by
Archimedes’ axiom we mean... that for any a > 0 there exists a natural
number n (which may be infinited) and that n. a > 1 then Archimedes’ axiom
does hold in *R32».
Conclusion: ontologie et calcul
La transcendance ontologique de la non-standard analysis réside en ceci que,
pour la première fois depuis que les infinitésimaux hantent la science et la
— 93—
philosophie (dépuis en somme Archimède, Eudoxe et la méthode d’exhaus-
tion), leur essence numérique est posée dans un cadre théorique irréprochable.
Avec A. Robinson le registre de la quantité récupère un matériel dont le
statut ontologique devenait flou depuis que le baron de Cauchy faisait de «l’in-
finiment petit» une expression conventionnelle désignant une variable dont
les valeurs successives s’approchent indéfiniment vers zéro, sans pour autant
renoncer tout à fait à les traiter comme des nombres. Il est vrai que ce flou
dans la détermination du lieu ontologique des différentielles était bien préparé
par Leibniz qui d’un côté affirme leur caractère numerique, quoi qu’imaginai-
re, mais par ailleurs soutient que l’infini actuel ne saurait être assumé en mathé-
matiques, ne saurait donc être revendiqué comme nombre.
Les exceptions à cette attitude procèdent plutôt de la philosophie que des
mathématiques et elles vont toutes dans le sens de la considération de dy, dx
comme pôles d’un rapport plutôt qualitatif que quantitatif; dy, dx témoigne-
raient effectivement de l’infini mais ceci non pas au sens où ils désigneraient
une quantité infinie (en petitesse) mais plutôt dans le sens où il s’agirait là de
l’infinititation de la quantité elle-même, c’est-à-dire sa qualification, en consi-
dérant que c’est le propre de la qualité que l’émergence d’un lien où les pôles
rapportés n’ont aucune subsistance33.
Bref: Si l’on s’en tient à la dérivée dans le cadre standard, alors dy, dx
expriment un lien dans lequel ceux qui sont mutuellement référés n’ont aucu-
ne substance en dehors du lien lui-même... Nous avons là la base de l’inter-
prétation qualitative du calcul différentiel que les philosophes ont reconnu
comme unique acceptable et que la mathématique du XIXe siècle a semblé
confirmer.
Cependant, Robinson trouve dans l’histoire et la pratique du Calculus des
raisons pour ne pas s’en tenir à une conception strictement qualitative du lien
différentiel, trouve des raisons pour affirmer derrière ce lien une dimension
d’infinitude. D’où suit que, pour fonder rationnellement aussi bien la discipli-
ne que la pluralité de phénomènes qu’elle détermine, il paraît nécessaire faire
violence au cadre hérité et offrir au discours sur la droite réelle un nouveau
modèle.
Dans un cas comme dans l’autre il s’agit de rendre compte de ce qui se
montre, trouver à ce dont on ne saurait se passer un terrain qui l’arrache à la
contingence, sozein ta phainomena ... tâche essentielle de l’ontologie.
«Beachte man noch, dass ich in einem Produkt βα unter β den Multiplikator, unter α
den Multiplikandus verstehe. Ohne weiteres ergeben sich alsdann für ω folgende zwei Formen:
ω = ω. 2 und ω = 1 + ω. 2. Ihnen gemäss kann also ω sowohl als eine gerade wie als eine ungera-
de Zahl aufgefasst werden» (pp. 178-179). «Von einem andern Gesichtspunkt, wenn nämlich 2
als Multiplikator genommen wird, liesse sich aber auch sagen, dass ω weder eine gerade noch
eine ungerade Zahl ist, weil, wie man leicht beweisen kann, ω weder in der Form 2α, noch in
der Form 2α + 1 sich darstellen lässt». Il convient d’exposer les préalables de l’argument : quand
des transfinis se trouvent impliqués dans une multiplication, seule une commutativité partielle
est garantie. Soient:
2 = Nombre ordinal de l’ensemble {e f}
ω = Premier nombre ordinal (Ordinalzahl) transfini correspondant à l’ensemble {1 2 3...}.
Si ω est multiplicateur nous avons: ω. 2 = Nombre ordinal de l’ensemble {e1 f1, e2 f2, e3 f3 ...}
lequel est ähnlich par rapport à {1 2 3 ...}. Si par contre 2 est le multiplicateur nous avons alors:
2. ω = Nombre ordinal de l’ensemble {1e 2e 3e ... 1f 2f 3f ...} = {e1 e2 e3 ... f1 f2 f3}, Menge non
ähnliche par rapport à {1 2 3 ...} (c’est-à-dire non susceptible d’une bijection qui fait coïncider
l’ordre de succession de deux elements quelconque de l’ensemble de départ avec celui de leurs
images). On a donc: ω. 2 = ω ‡ 2. ω (En d’autres textes Cantor écrit le multiplicateur à droite,
ce qui donne: 2. ω = ω ‡ ω. 2). C’est-à-dire:
ω (multiplicateur) fois 2 (multipliant) = ω
2 (multiplicateur) fois ω (multipliant) ‡ ω
On ajoutera à ceci (formule dont nous ne reprendons pas la preuve):
1 + ω = ω ‡ ω + 1
Enonçons à present les conditions bien connues pour qu’un nombre x soit pair ou
impair:
– x est impair s’il existe α tel que 1 plus α fois 2 = x
ou, ce qui dans l’ordre numérique fini est équivalent,
x est impair s’il existe α tel que 1 plus 2 (multiplicateur) fois α = x.
Les conditions de la parité et de l’imparité énoncées en A) et B) sont, comme nous le disions,
dans l’ordre numérique fini équivalentes et ceci en vertu de la rigoureuse commutativité de la
multiplication. Tel n’est pas le cas dès que des transfinis sont en jeu. En effet,
2. Il existe un nombre α tel que 1 plus α (multiplicateur) fois 2 est égal à ω, à savoir α =
ω lui-même, donc ω est impair.
– Si α est fini: 2 α est fini et donc diffère de ω.
– Si α est infini soit α = ω, soit a > ω (car ω est le premier nombre ordinal transfini)
et dans les deux cas 2 α > ω.
2. Il n’existe point de nombre α tel que 1 plus deux (multiplicateur) fois α soit égal à ω
et donc ω n’est pas impair.
Preuve:
– Si α est fini: 1 + 2α est fini et donc diffère du ω.
– Si α est infini alors ou bien α = ω et 1 + 2α = 2ω > ω, ou bien α > ω et 1 + 2α >
2 ω > ω.
1. Every mathematical notion which is meaningful for the system of real numbers is mea-
ningful also for *R.
2. Every mathematical statement which is meaningful and true for the system of real num-
bers is meaningful and true also for *R: provided that we interpret any reference to entities of
any given type, e.g. sets, or relations, or functions, in *R not in terms of the totality of entities of
that type, but in terms of a certain subset, called the set of internal entities of that type. For
exemple, if the statements contains a phrase ‘for all sets of numbers’ we interpreted this as ‘for
all internal sets of numbers’. Similarly the phrases ‘there exists a set of numbers’, ‘there exists a
function’, as ‘there exists an internal set’, ‘there exists an internal function’. However all indivi-
duals of *R are internal: the phrase ‘for all numbers’ is interpreted in *R as ‘for all individuals
of *R’.
3. The system of internal entities in *R has the following property. If S is an internal set of
relations, then all elements of S are internal...
4. *R properly contains the system of real numbers R; there is an individual in *R which,
according to the relation of order defined in R and *R, is greater than all numbers of R (NSA,
p. 49).