Che l’infinito occupi un posto essenziale, per non dire preponderante,

nelle scienze matematiche è affermazione pacifica, al punto che si può affer-

mare che la nascita della matematica coincida con l’ingresso nel pensiero clas-

sico dei processi e dei metodi infiniti.

Cionondimeno, lo studio dell’infinito in quanto tale è tutto sommato

recente, e non si afferma che alla fine del secolo scorso. Nei duemila anni che

separano la nascita della geometria greca dalle profonde intuizioni di Cantor,

la trattazione matematica dell’infinitamente grande non fa registrare che pro-

gressi modesti, quasi che l’immensità dell’oggetto valga a precludere ogni sua

analisi approfondita. Così chi voglia studiare la storia dell’infinito matematico

dovrà rivolgersi piuttosto alla sua immagine speculare, ed indagare l’evoluzio-

ne dei temi e delle teorie legate all’infinitamente piccolo.

— 4—

Tra esse, un posto particolare spetta alle dottrine del continuo, soprattutto

a causa del ruolo centrale di quest’ultimo, quasi un ponte gettato tra la geome-

tria, scienza del continuo per definizione, e la filosofia naturale, che nella com-

posizione del continuo trova uno dei temi più dibattuti.

A dispetto della sua importanza, in matematica non meno che nella filo-

sofia, si cercherebbe invano negli scritti dei geometri dall’antichità al secolo

XVII una teoria soddisfacente o anche soltanto una definizione precisa del

continuo, che invece è assunto come un dato immediato le cui proprietà, lungi

dall’essere enunciate esplicitamente, sono piuttosto evocate e messe all’opera,

quando è il caso, anche nel corso di una dimostrazione.

Il rapporto tra teorie geometriche e struttura del continuo va in senso

contrario alla successione logica: la discussione delle proprietà del continuo

non precede, come sarebbe logico e lecito attendersi, la formulazione e lo svi-

luppo delle teorie geometriche delle quali esso costituisce per così dire la

materia. Al contrario, il continuo è piuttosto un risultato finale, un sottopro-

dotto, della geometria; un risultato peraltro che non è quasi mai esplicito, e

che è piuttosto suggerito che enunciato, meno che mai dimostrato.

In altre parole, quella del continuo non è una scienza, una teoria, sulla

quale si possa fondare la geometria; ma piuttosto un’immagine che si forma

nella rpente del geometra alla fine delle sue elucubrazioni; immagine co-

struita pezzo a pezzo mediante le proprietà che al continuo si sono attribuite

nel corso delle dimostrazioni, e che vengono via via a modificare immagini

precedenti.

La geometria genera immagini del continuo; e così ai cambiamenti di

punti di vista in geometria corrisponderanno analoghe revisioni della nozione

di continuità, in modo che i periodi di grande attività creatrice come il XVII

secolo, sono anche caratterizzati da una forte instabilità fondazionale; periodi

in cui nuove immagini del continuo sono create, modificate, e infine rimpiaz-

zate da altre immagini, non più fondate queste ultime, o meno arbitrarie, di

quelle che le hanno precedute.

Scopo di questa mia relazione è di portare alla luce alcune di queste teorie

sommerse, e di ripercorrerne lo sviluppo nel secolo XVII, in particolare in

relazione all’opera matematica di Leibniz. Senza peraltro dimenticare che se i

fatti e le scoperte che in questo grande secolo hanno cambiato il volto della

geometria – la geometria analitica, il calcolo – sono ben noti e sotto gli occhi

di tutti, le teorie del continuo che ad esse soggiacciono sono riposte e talora

contraddittorie; di più, esse non trovano che di rado un’enunciazione esplicita,

ma devono essere estratte non senza pena da scritti non sempre di agevole e

univoca interpretazione.

Di un tale stato di cose questo intervento, immagine di immagini, non

potrà non risentire.

— 5—

1. L’eredità classica

La nozione matematica di continuo che il XVII secolo riceve dall’antichi-

tà classica è quella risultante dalla teoria eudossiana delle proporzioni, quale è

codificata nel quinto libro degli Elementi di Euclide.

Anche se applicabile ad ogni specie di grandezze, sia cioè a quelle conti-

nue che a quelle discrete (numeri), la teoria delle proporzioni è con ogni evi-

denza modellata sulle grandezze continue, ed in particolare su quelle geometri-

che (segmenti, figure piane e solide) che le aporie pitagoriche dell’incommen-

surabilità impedivano di trattare numericamente, associando cioè ad ogni

grandezza la sua misura.

La teoria eudossiana si fonda sulla nozione di rapporto (λόγος) tra gran-

dezze omogenee, e più ancora su quella di proporzione (ἀναλογία), o ugua-

glianza di rapporti, introdotta nella quinta definizione del quinto libro degli

Elementi:

Si dice che quattro grandezze hanno lo stesso rapporto, la prima alla

seconda come la terza alla quarta, quando presi equimultipli della prima e del-

la terza secondo qualsivoglia numero, ed equimultipli della seconda e della

quarta secondo qualsivoglia numero, se il multiplo della prima è maggiore di

quello della seconda, anche il multiplo della terza sarà maggiore di quello del-

la quarta; se uguale, uguale; se minore, minore¹.

Come si vede, abbiamo una definizione complessa, solo un poco chiarita

da quella successiva di rapporti disuguali²:

Se poi, degli equimultipli, il multiplo della prima supererà quello della

seconda, ma il multiplo della terza non sarà maggiore di quello della quarta,

allora si dirà che il rapporto della prima alla seconda è maggiore di quello

della terza alla quarta.

La teoria delle proporzioni non tratta esplicitamente delle grandezze in

quanto tali, se non per precisare alcuni termini come multiplo e sottomultiplo.

Essa, come è stato più volte osservato, è una teorìa dei rapporti e non delle

grandezze. Quest’ultima teoria è per così dire presupposta, e il lettore che



— 6—

voglia approfondirne le nozioni fondamentali, in particolare quella di grandez-

za continua, dovrà cercarle altrove.

Di opere relative al problema della continuità precedenti la sistemazione

eudossiana delle proporzioni non ci è pervenuta notizia; e per averne una trat-

tazione abbastanza esauriente dovremo rivolgerci alle opere di Aristotele. Lo

stagirita è perfettamente al corrente della teoria delle proporzioni, e probabil-

mente modella su di essa la sua analisi del continuo. Quanto meno, la teoria

aristotelica è compatibile con quella eudossiana, della quale costituisce il natu-

rale prerequisito.

Aristotele distingue tre tipi di grandezze, a seconda dell’accoppiamento

tra le loro parti. In primo luogo la grandezza discreta, le cui parti si susseguo-

no consecutivamente senza che tra di esse vi sia alcunché di simile, pur non

escludendo la possibilità che tra esse siano intercalati altri oggetti eterogenei.

Così ad esempio tra due linee consecutive potremo trovare uno spazio, ma non

una linea; e tra due case consecutive un prato, ma non una casa:

Il consecutivo… è ciò che non presenta alcun intermedio dello stesso suo

genere tra sé stesso e quello di cui è consecutivo (dico ad esempio, che non vi

siano una linea o più linee dopo la linea, una unità o più unità dopo l’unità,

ovvero una casa dopo una casa; nulla però impedisce che vi sia in mezzo qual-

cosa di altro genere)³.

Tra le grandezze consecutive saranno contigue quelle le cui estremità (o

meglio le estremità delle cui parti) sono in contatto; e tra queste saranno con-

tinue quelle i cui estremi coincidono:

Contiguo è ciò che, oltre ad essere consecutivo, è anche in contatto.

Il continuo è una determinazione del contiguo, ed io dico che c’è conti-

nuità quando i limiti di due cose, mediante i quali l’una e l’altra si toccano,

diventano uno solo e il medesimo e, come dice la parola stessa, si tengono

insieme. Questo però non può verificarsi quando gli estremi sono due. Tenen-

do conto di questa precisazione, risulta chiaro che il continuo è in quelle cose

da cui per natura vien fuori qualcosa di unico in virtù del contatto⁴.

In conclusione:

continue sono le cose le cui estremità sono una sola cosa, sono in contat-

to quelle le cui estremità sono insieme, e consecutive quelle in mezzo a cui

non c’è nulla di affine⁵.

Una conseguenza di questa definizione di continuità è che una grandezza

continua è sempre divisibile in parti omogenee, a loro volta ancora divisibili;



— 7—

in altre parole, un continuo non può essere composto di parti ultime indivisi-

bili. A sostegno di questa tesi Aristotele porta due argomenti. Il primo è che

un indivisibile non ha né estremità né qualche altra parte, né le estremità

sono simultanee, perché non c’è nessuna estremità di ciò che è privo di par-

ti⁶.

Il secondo argomento riguarda il modo in cui gli indivisibili costituenti il

continuo dovrebbero congiungersi tra loro. Infatti

poiché l’indivisibile è privo di parti, necessariamente esso dovrebbe essere

in contatto come intero con un intero: ma un intero che è in contatto con un

intero non sarà continuo⁷.

In sostanza, due indivisibili successivi, dovendo essere in contatto come

un tutto, dovrebbero necessariamente coincidere e dunque si ridurrebbero ad

uno solo. Al di là del suo ruolo nella teoria del continuo aristotelico, il ragio-

namento è interessante perché svela un tratto caratteristico e costante delle

idee sulla composizione del continuo, e cioè che l’insieme degli indivisibili (sia

quando questi sono considerati come componenti ultime del continuo, sia

quando essi sono evocati solo per negarne l’esistenza) sia un insieme ben ordi-

nato, nel quale ogni indivisibile segue il suo predecessore secondo l’ordine

naturale⁸. Un tale presupposto è evidentemente incompatibile, come mostra

Aristotele, con un continuo di indivisibili. Non resta allora che assumere la

divisibilità indefinita del continuo; una conclusione che, superando le aporie

pitagoriche degli irrazionali, rende il continuo aristotelico particolarmente

adatto a fondare la teoria delle proporzioni. Le due costruzioni risultano così

complementari l’una dell’altra, di modo che chi voglia opporsi ad una di esse

si vedrà obbligato a negare anche l’altra, o almeno a recidere i legami tra le

due. È quanto, per opposte ragioni, tenteranno di fare Galileo e Cavalieri.

2. Tensioni dello schema classico: Galileo e Cavalieri

Le pagine che, nella prima giornata dei Discorsi, Galileo dedica al proble-

ma del continuo mirano soprattutto a dimostrare la composizione atomica del-

la materia, e dunque si oppongono direttamente alle argomentazioni aristoteli-



— 8—

che che ne dimostravano l’impossibilità. E dato che quest’ultima seguiva

immediatamente dalla stessa definizione di grandezza continua, è in primo luo-

go con questa che Galileo deve confrontarsi.

Ciò non vuol dire che Galileo proponga una sua propria definizione al

posto di quella di Aristotele, men che mai che egli sostituisca la teoria aristote-

lica del continuo con una teoria galileiana; al contrario, egli assume il conti-

nuo come un dato immediato, identificandolo di fatto con la retta geometrica.

In altre parole, egli rimpiazza una teoria con un’immagine.

La linea d’attacco di Galileo si snoda lungo la distinzione aristotelica tra

atto e potenza. Alla domanda se le parti del continuo siano finite o infinite,

Simplicio risponde accettando ambedue i corni del dilemma: esse sono finite

in atto ed infinite in potenza. Galileo rifiuta questa distinzione ed argomenta

che essendo sempre divisibile, il continuo deve essere costituito di parti infini-

te. Queste non potranno essere quante, cioè avere grandezza finita, perché altri-

menti darebbero luogo ad un’estensione infinita: ne segue che il continuo è

composto di infinite parti non quante, dunque indivisibili;

chiamateli poi in atto o in potenza, come più vi piace, ché io, Sig. Simplicio, in questo particolare mi rimetto al vostro arbitrio e giudizio⁹.

In realtà tutta l’argomentazione si basa su uno slittamento semantico:

dove Aristotele dice semplicemente parti, Galileo intende parti ultime. Una

volta accettata questa interpretazione, è chiaro che le parti galileiane non

potranno che essere indivisibili (perché altrimenti non sarebbero ultime) ed

infinite (pena la ricaduta nei paradossi dell’incommensurabilità).

A questo punto Galileo non può esimersi dall’affrontare un altro proble-

ma: se il continuo è composto di infiniti indivisibili, come è possibile confron-

tare due continui tra di loro, ad esempio dire quando una linea è maggiore di

un’altra? Sarebbe dunque possibile paragonare due infiniti, contro quanto

afferma esplicitamente la teoria delle proporzioni?

Come è noto, la risposta di Galileo è negativa: tra gli infiniti non c’è

relazione d’ordine, non si può affermare che un infinito sia maggiore o minore

(e nemmeno uguale) di un altro. A sostegno della sua tesi, egli porta il celebre

esempio dei numeri e dei loro quadrati: da un lato ci sono più numeri che

quadrati, dato che ci sono infiniti numeri che non sono dei quadrati; dall’altro

essi sono uguali, poiché a ogni quadrato corrisponde la sua radice. Il paradosso

che ne consegue si può superare solo con la rinuncia al confronto tra infiniti:

Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti



— 9—

essere tutti i numeri, infinite le loro radici, né la moltitudine de’ quadrati esser

minore di quella di tutti i numeri, né questa maggior di quella, ed in ultima

conclusione, gli attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl’in-

finiti, ma solo nelle quantità terminate¹⁰.

In conclusione, Galileo afferma da una parte che il continuo si compone

di indivisibili, una tale composizione essendo una condizione necessaria per la

divisibilità indefinita; ma per contro nega che ciò possa avere delle conseguen-

ze sulla teoria matematica dei rapporti, poiché gli indivisibili, essendo infiniti,

non sono grandezze che hanno rapporto tra loro.

E però quando il Sig. Simplicio mi propone più linee diseguali, e mi

domanda come possa essere che nelle maggiori non siano più punti che nelle

minori, io gli rispondo che non ve ne sono né più né manco né altrettanti, ma

in ciascheduna infiniti¹¹.

Una conseguenza di questo atteggiamento è la separazione della matema-

tica dalla fisica: i continui sono sì composti di infinite parti indivisibili, ma ciò

è irrilevante per quanto riguarda le loro proprietà matematiche (in particolare

la loro misura) che traggono origine non dalla loro composizione ultima, ma

solo dall’infinita divisibilità che da questa deriva.

Una posizione simmetrica, e in un certo senso opposta, è quella di Cava-

lieri, che pure di Galileo fu uno dei discepoli più dotati, e la cui opera princi-

pale, la Geometria degli indivisibili¹², mostra evidenti correlazioni e dipendenze

dal pensiero galileiano.

L’idea centrale dell’opera cavalieriana è che ci si possa servire del rappor-

to tra gli indivisibili di due figure geometriche per dedurne il rapporto tra le

figure stesse, evitando in tal modo le lungaggini del metodo classico di esau-

stione, senza peraltro rinunciare al rigore geometrico della teoria delle propor-

zioni.

Cavalieri si trova dunque ad affermare ciò che Galileo aveva negato, e

cioè la possibilità di paragonare tra loro gli indivisibili di due grandezze. Per

far ciò egli deve contestare, o quanto meno attenuare, il carattere infinito degli

indivisibili, cosa che altrimenti li avrebbe ipso facto esclusi dalla classe delle



— 10—

grandezze aventi proporzione. A questo scopo Cavalieri distingue due tipi di

infiniti: quelli assoluti, che non possono essere comparati tra loro, e altri, tra i

quali egli annovera gli indivisibili, che pur essendo infiniti in numero, sono

tuttavia finiti per altri versi, e dunque confrontabili tra loro.

Propter quod innuendum mihi videtur, dum considero omnes lineas, vel

omnia plana alicuius figurae, me non numerum ipsarum comparare, quem

ignoramus, sed tantum magnitudinem, quae adaequatur spatio ab eisdem lineis

occupato, cum illi congruat, & quoniam illud spatium terminis comprehendi-

tur, ideo & eorum magnitudo est terminis eisdem comprehensa, quapropter illi

potest fieri additio, vel subtractio, licet numerum eorundem ignoremus; quod

sufficere dico, ut illa sint ad invicem comparabilia, alioquin neque ipsa spatia

figurarum essent ad invicem comparabilia¹³.

In altre parole, Cavalieri non si interessa al numero, infinito, degli indivi-

sibili di una figura, ma alla loro totalità intesa come un oggetto unico, distinto

dalla figura ma in un certo senso congruente con essa, e da questo punto di

vista con quella avente in comune una proprietà di finitezza.

A questa nuova classe di grandezze – tutte le linee delle figure piane, tutti

i piani di quelle solide – egli potrà allora applicare le regole della teoria delle

proporzioni, e dedurre il rapporto tra figure da quello tra i loro indivisibili:

Figurae planae habent inter se eandem rationem, quam eorum omnes

lineae iuxta quamvis regulam assumptae; Et figurae solidae, quam eorum

omnia plana iuxta quamvis regulam assumpta¹⁴.

Si potranno allora evitare i laboriosi meccanismi propri del metodo

d’esaustione, e calcolare direttamente la misura delle figure piane e solide,

beninteso a prezzo di una certa oscurità della teoria, che esattamente nel pas-

saggio dal rapporto tra gli indivisibili e quello delle figure relative mostra le

sue debolezze. Ma non è questo che ci interessa in questa sede, quanto invece

le conseguenze che la teoria cavalieriana degli indivisibili ha sulle sue idee

relative alla composizione del continuo, per molti versi opposte a quelle gali-

leiane.

Galileo aveva proposto l’immagine di un continuo frantumato, infinita-

mente divisibile perché infinitamente diviso; un continuo atomico del quale

non si davano relazioni quantitative. Cavalieri, che esattamente tali relazioni

vuole stabilire, indietreggia davanti alle implicazioni filosofiche della sua teo-



— 11—

ria, e rinuncia a vedere nei suoi indivisibili le costituenti ultime delle figure

che egli voleva misurare¹⁵.

Nei due casi il rifiuto (meglio: l’impossibilità) di intraprendere una revi-

sione globale della teoria del continuo, sia dal punto di vista delle matemati-

che che da quello della filosofia, ha come conseguenza la separazione dei due

concetti: il continuo fisico e quello matematico si pongono su piani differenti

e non comunicanti.

3. Il continuo algebrico: Viète e Descartes

Le idee di Galileo e di Cavalieri, pur con la loro carica innovativa, si

situano ancora in un universo classico, ed hanno come referenti naturali le

teorie del continuo di Eudosso e di Aristotele ed il pensiero geometrico di

Euclide e di Archimede.

C’è d’altra parte una diversa corrente del pensiero matematico, che non

ignora certo la rigorosa lezione della geometria, ma che a questa preferisce la

generalità dell’algebra.

Contrariamente alla geometria classica, che aveva relegato il numero in

una posizione nettamente subordinata ed aveva preferito trattare direttamente

le grandezze e i loro rapporti, l’algebra è interamente fondata sui numeri.

All’affermazione del punto di vista algebrico avevano contribuito vari fattori:

una notazione posizionale che permetteva di calcolare con una velocità e una

sicurezza impensabili nelle notazioni greche o latine; il legame costante con le

esigenze della vita pratica e la conseguente necessità di esprimere i risultati in

termini numerici; e soprattutto il potere creativo di certi segni, come ad esem-

pio quello per denotare le radici (R_x), che evocavano dei nuovi numeri – i

numeri surdi – là ove la geometria greca aveva letto l’insufficienza del sistema

numerico e l’impossibilità di rappresentare con numeri le grandezze incom-

mensurabili. Al problema posto dall’incommensurabilità del lato e della diago-

nale del quadrato, problema che aveva determinato la crisi della scuola pitago-

rica o quanto meno di una concezione atomica della natura, l’algebra risponde

con dei segni, le radici (o se si vuole con la creazione di nuove entità, i numeri

surdi, peraltro più evocati che definiti) e con la possibilità, derivante in gran



— 12—

parte dall’agilità del sistema posizionale, di spingere l’approssimazione del cal-

colo fino a un grado arbitrario.

La gerarchia classica ne risulta capovolta, ed il numero prende la prece-

denza sulla grandezza: come quella degli Arabi dalla quale deriva, l’algebra

dell’Occidente resta fino alla fine del XVI secolo una disciplina totalmente

numerica. Anche quando il problema in questione rientra tra quelli geometri-

ci, alle grandezze in gioco si assegna immediatamente un valore numerico,

come pure numerica è la soluzione che si cerca: un numero nel senso più

esteso.

Si deve a Viète l’aver sostituito a questa algebra dei numeri un’algebra

delle forme; all’algebra numerosa un’algebra speciosa, nella quale gli oggetti da

manipolare non sono più dati immediatamente in numeri, ma sono denotati

con delle lettere, le consonanti per le quantità assegnate, le vocali per le inco-

gnite¹⁶.

La sostituzione delle lettere ai numeri non sarebbe di per sé un progresso

decisivo. Infatti se è vero che un risultato espresso in formule mostra chiara-

mente il ruolo delle grandezze note nella formazione dell’incognita, e talvolta

indica anche il cammino percorso per giungere alla soluzione, non è meno

vero che nella maggior parte dei casi la regola generale si può enunciare ver-

balmente, o meglio ancora si può facilmente estrapolare da un esempio nume-

rico ben scelto.

Ben più importante è invece una conseguenza meno appariscente ma più

profonda delle teorie di Viète, e precisamente la possibilità di una ricomposi-

zione su nuove basi dell’unità tra algebra e geometria.

Come abbiamo già osservato, alla base dell’algebra numerosa sta il sistema

numerico classico, esteso con l’introduzione dei numeri irrazionali. Così nei

problemi di geometria si cominciava immediatamente con l’associare un nu-

mero ad ogni grandezza in gioco (normalmente dei segmenti), così come un

numero era la soluzione, anche se talora essa veniva interpretata come lun-

ghezza di un segmento incognito. Questa geometria numerica non aveva che

deboli legami con il rigore della geometria classica, e ciò non solo né princi-

palmente perché essa era rivolta a questioni eminentemente pratiche; anche

quando i problemi affrontati avevano un carattere prevalentemente teorico,

l’universo nel quale essi si muovevano era sempre quello del calcolo numeri-



— 13—

co. In un certo senso, si può affermare che algebra e geometria pratica (o

meglio, algebra e geometria numerica) fanno parte di una stessa tradizione,

che si tratti dei problemi pratici degli abachisti o delle costruzioni evolute e

sofisticate di un Bombelli.

Questa tradizione geometrica era completamente separata dall’altra, che

prendeva origine e metodi dalla geometria classica. L’opera di Viète getta un

ponte tra queste due anime della matematica, e realizza l’unione dei procedi-

menti algebrici con i metodi geometrici. Per raggiungere questo scopo, un pas-

so obbligato è il passaggio dall’algebra numerica alla letterale; e la sostituzione

dei numeri, troppo immediatamente legati da una parte alle operazioni alge-

briche e dall’altra alle applicazioni quotidiane, con le lettere, la cui neutralità

semantica permette, a seconda dei casi, interpretazioni ora algebriche ora geo-

metriche.

La nuova geometria si fonda sull’ambiguità di questi segni. Da una parte,

è evidente, le lettere denotano dei numeri, e dunque si potrà operare su di

esse con le consuete regole dell’algebra, e con altre che Viète si preoccupa di

enumerare non senza una qualche pedanteria; in particolare sarà possibile

sommarle tra loro, sottrarle, estrarne le radici. Da questo punto di vista, comu-

nemente adottato dalla storiografia sull’argomento, l’algebra letterale non è

che una trascrizione tachigrafica della vecchia algebra numerica.

Ma le lettere non si limitano a sostituire ed a rinviare ai numeri; esse

denotano anche delle grandezze geometriche: linee, piani, solidi, ed oltre. Di

più, una tale corrispondenza tra lettere e grandezze non passa per l’intermedia-

rio dei numeri, ma vale piuttosto il contrario: si spezza il legame diretto tra

numero e grandezza, che aveva determinato la separazione tra geometria

numerica e geometria classica, ed al suo posto si istaura un legame più com-

plesso, fondato sul ruolo centrale dei simboli letterali.

Parallelamente, le formule dell’algebra letterale sono da una parte delle

tachigrafie di analoghe formule numeriche, ma dall’altra indicano delle proce-

dure di costruzione geometrica a partire dalle grandezze a cui le lettere si rife-

riscono¹⁷; costruzioni che talora (ma non sempre) sono eseguibili con riga e

compasso, come ad esempio quella relativa all’estrazione della radice quadrata,

descritta da Descartes all’inizio della sua Géométrie¹⁸ (fig. 1):

Ou, s’il faut tirer la racine quarrée de GH, ie lui adiouste en ligne droite

FG, qui est l’unité, & divisant FH en deux parties esgales au point K, du

— 14—

Fig. 1.

centre K ie tire le cercle FIH; puis, en enlevant du point G une ligne droite

iusques a I a angles droits sur FH, c’est GI, la racine cherchée.¹⁹

Si instaura dunque, tramite l’intermediario della simbologia letterale,

una corrispondenza naturale tra le operazioni dell’algebra, che agiscono sui

numeri, e le costruzioni della geometria, che si fanno a partire dai segmenti.

La relazione è tale che alle costruzioni con riga e compasso corrispondono

delle formule contenenti al più delle radici quadrate, anche ripetute; mentre

formule più complesse, ad esempio quelle in cui entrano delle radici cubi-

che, rimandano a costruzioni nuove, o quanto meno al di là della geometria

degli Elementi, che Viète riconosce nei procedimenti di inserzione o nella

trisezione dell’angolo.

Le teorie di Viète e di Descartes non sono senza conseguenze sulla

struttura del continuo. A differenza dell’algebra numerica, che non conosce

altro continuo che i numeri, la nuova geometria algebrizzata accetta il con-

tinuo classico, rappresentato dalla retta euclidea, ma lo priva totalmente del-

la costruzione assiomatica rigorosa ma ingombrante della teoria delle pro-

porzioni, che sostituisce con una struttura algebrica presa a prestito dal con-

tinuo numerico.

L’immagine che ne risulta è quella di un continuo anfibio, i cui elementi

sono allo stesso tempo delle grandezze e dei numeri. Questa sostanziale ambi-

guità si conserverà per tutto il XVII secolo ed oltre, come testimonia ad esem-

pio la costante attenzione che in questo periodo è riservata al problema della



— 15—

costruzione delle equazioni, un problema nel quale la dualità numero-grandez-

za gioca un ruolo essenziale²⁰. È solo al termine di una lunga marcia di più di

due secoli che i due concetti si confonderanno in quello di numero reale,

anche se la teminologia sarà ancora presa dalla geometria: si dirà grandezza ma

si penserà numero.

La struttura del continuo che emerge dall’opera di Viète non muterà

sostanzialmente per effetto dell’elaborazione cartesiana, salvo forse per una

accentuazione dell’aspetto numerico dovuta all’eliminazione della legge

dell’omogeneità per effetto dell’introduzione di un segmento unitario. Un tale

spostamento verso il lato numerico è d’altronde un carattere costante dell’evo-

luzione della teoria algebrica del continuo, durante la quale si vanno perdendo

i contenuti assiomatici: alle definizioni ed agli assiomi, ingombranti ma preci-

si, della teoria delle proporzioni, non si sostituiscono altre definizioni ed altri

assiomi, ma il libero gioco delle operazioni algebriche.

Nella Géométrie di Descartes non c’è posto per una sola definizione, né vi

si trova alcun assioma; al loro posto operazioni e descrizioni. Nel continuo

deassiomatizzato e fluido che ne risulta troveranno posto le grandezze infinite-

sime che erano rigorosamente ed esplicitamente bandite nella geometria classi-

ca.

4. I continui leibniziani

Con gli infinitamente piccoli siamo entrati nel dominio proprio dell’anali-

si leibniziana, il tema che qui particolarmente ci interessa.

Il plurale usato nel titolo di questo paragrafo anticipa una delle conclusio-

ni che trarremo dall’esame dei passi in cui Leibniz affronta, anche indiretta-

mente, il problema: egli non ha una teoria univoca, meno che mai una siste-

mazione formale, del continuo; al contrario, di volta in volta privilegia e sot-

tolinea questo o quell’aspetto, mettendo in luce proprietà diverse a seconda

delle proprie esigenze. Ne risulta una posizione se non oscillante almeno varie-

gata, nella quale diverse immagini del continuo si susseguono senza che l’una

prenda il sopravvento sulle altre, e senza che esse si fondano in una teoria

unica, anche se implicita.

La nostra analisi non si limiterà ai passaggi nei quali Leibniz affronta

direttamente ed esplicitamente il problema della continuità; accanto a questi



— 16—

cercheremo di rintracciare e di collegare tra loro quei testi nei quali la natura

e le proprietà del continuo entrano in maniera più riposta, essendo per così

dire diluite in argomentazioni di carattere matematico o fisico. In particolare,

cercheremo di mettere in luce la struttura che soggiace al calcolo differenzia-

le.

Da questo esame si vedono emergere con chiarezza non meno di tre

distinte immagini del continuo, che si intrecciano negli scritti leibniziani senza

che, almeno per quanto riguarda le ultime due, si possa parlare di una reale

evoluzione teorica; quasi che Leibniz si riservasse il diritto di usare l’una o

l’altra di esse a seconda delle circostanze. Vediamole in ordine.

a) Il continuo con infinitesimi

Se si eccettuano alcuni passaggi della Theoria motus abstracti, di cui parlere-

mo più oltre, il primo scritto in cui Leibniz si trova a dover affrontare sistema-

ticamente i problemi della struttura del continuo è il dialogo Pacidius Philale-

thi²¹, un’opera «scripta in navi qua ex Anglia in Hollandiam trajeci. 1676

Octob.» e dedicata alla «Prima de Motu Philosophia»; un tema nel quale

entrano immediatamente considerazioni concernenti la natura del continuo.

Occorrerà dire subito che Leibniz non è interessato agli aspetti quantitati-

vi della teoria del moto, ma piuttosto ai problemi filosofici connessi col cam-

biamento. Il problema è classico: in quale momento di un processo continuo si

produce una mutazione qualitativa? Leibniz fa una serie di esempi. Il primo

riguarda il passaggio dalla vita alla morte. L’ultimo istante di vita sarebbe anche

il primo istante della morte? Ma allora si sarebbe contemporaneamente vivi e

morti, una conclusione palesemente assurda. E ancora: in che momento da

lontano un punto diventa vicino a un altro?

si punctum A ad punctum B accedat, fiet aliquando ex non propinquo

propinquum²².

Anche qui una discontinuità qualitativa fa riscontro alla continuità quan-

titativa. Di carattere simile è l’esempio seguente, che ha non poche somiglian-

ze con il paradosso zenonico della dicotomia:

quod movetur, nondum est in loco in quo erit: non potest autem ad eum

venire nisi adhuc moveatur. Ergo quidquid movetur, adhuc movebitur²³,



— 17—

Fig. 2.

da cui l’assurda conclusione dell’eternità di un qualsiasi moto.

La soluzione leibniziana consiste nell’introdurre di nuovo la distinzione

aristotelica tra continuo e contiguo, o per meglio dire nel dotare il continuo

delle proprietà del contiguo aristotelico:

Memini Aristotelem quoque contiguum a continuo ita discernere, ut conti-

nua sint, quorum extrema unum sunt, contigua quorum extrema simul sunt.

Eodem modo dicemus, statum vivi mortuique tantum contigua esse, nec com-

munia extrema habere²⁴.

L’atto (mentale) della separazione (ad esempio tra il tempo della vita e

quello della morte o, come altrove, tra i punti vicini e quelli lontani) produce

uno sdoppiamento dell’istante-punto; le due estremità che ne risultano sono

una l’ultimo punto lontano, l’altra il primo punto vicino. In questo senso,

ribaltando la gerarchia aristotelica che faceva procedere il continuo dal conti-

guo, Leibniz considera quest’ultimo come una determinazione del primo, che

si produce all’atto della separazione del continuo in due parti cointegranti.

Gli estremi di queste, C e D nella figura 2, non coincidono anche se sono

insieme: la considerazione della divisione ha trasformato il continuo in conti-

guo. In corrispondenza, il cambiamento (il moto) non è qualcosa che avviene

in un istante, ma invece è uno:

statum compositum ex ultimo momento existendi in loco aliquo, et primo

momento non existendi in eodem sed in alio proximo²⁵.

Ma se si possono trovare due punti contigui, come C e D, non si potrebbe

continuare la divisione e trovare un terzo punto immediatemente successivo a

D, e poi un quarto, e così via, fino a risolvere la retta in punti, e il continuo in

indivisibili?

A questa domanda Leibniz risponde in due modi. In primo luogo egli

mostra che l’assunzione di un continuo di indivisibili porta a conclusioni

assurde. Per questo riprende una vecchia obiezione alla teoria cavalieriana, e

precisamente il paradosso di due linee rette disuguali, i cui punti si possono

mettere in corrispondenza biunivoca. Tali sono ad esempio l’altezza e la diago-



— 18—

nale di un rettangolo, i cui punti si corrispondono mediante parallele alla base,

come si vede nella figura 3.

Cavalieri, i cui interessi erano rivolti più alle potenzialità geometriche del

nuovo metodo che alle sue implicazioni filosofiche, aveva evitato questo para-

dosso facendo distinzione tra retto e obliquo transito ed escludendo quest’ulti-

mo. Al contrario Leibniz, che ha di mira il problema della composizione del continuo, argomenta che da ciò seguirebbe l’uguaglianza del lato e della diago-

nale, dato che ambedue sono costituiti da uno stesso numero di punti.

Perché il suo ragionamento sia concludente, Leibniz deve anche smontare

l’argomento galileiano, che escludeva la possibilità di paragonare due infiniti

tra loro. A Galileo, che sosteneva che i quadrati non erano né più né meno

dei numeri, e che in generale

gli attributi di uguale, maggiore e minore non aver luogo ne gl’infiniti,

ma solo nelle quantità terminate²⁶,

Leibniz risponde che l’esempio addotto mostra solo che

nullum omnino esse numerum omnium numerorum, talemque notionem

implicare contradictionem²⁷.

Fig. 3.

Una volta stabilito che il continuo non si compone di indivisibili, si potrà

riesaminare il problema della generazione di punti successivi per divisioni



— 19—

ripetute. Se la prima divisione aveva creato i punti contigui C e D (fig. 2),

Leibniz nega che sia possibile un’ulteriore divisione che individui un altro

punto E successivo a D. Infatti, egli dice, i punti C e D non esistono in una

linea continua, ma sono un prodotto della divisione. Perché si possa determi-

nare un punto E immediatamente successivo a D occorrerebbe dividere la ret-

ta in AD. Ma questo non è possibile, perché

quia lineae AC et AD aequales similes et congruae sunt, C unius divisio-

nis et D alterius ne different quidem²⁸,

in altre parole, gli estremi C e D che vengono prodotti dalla divisione, benché

tra loro diversi, non danno origine a due segmenti AC ed AD differenti tra

loro: essi sono distinti ma non distanti. Dai tagli del continuo si generano

punti infinitamente vicini.

Il contiguo aristotelico diventa dunque, nell’elaborazione leibniziana del

Pacidius Philalethi, un continuo con infinitesimi. Questa immagine, sufficiente per eli-

minare i paradossi del cambiamento qualitativo, si rivelerà ben presto inade-

guata per affrontare i problemi della geometria: sovrabbondante per quanto

concerne la geometria classica, troppo povera per le esigenze del calcolo diffe-

renziale.

Dal suo abbandono non sorgerà tuttavia una nuova teoria, o anche una

nuova immagine più elaborata, ed in grado di fornire le basi del calcolo come

della geometria. Al suo posto, due costruzioni distinte e incomunicanti, come

incomunicanti resteranno, nonostante le ripetute affermazioni in contrario, la

geometria sintetica classica e il calcolo infinitesimale, la cui riconciliazione

completa non avverrà che due secoli più tardi.

b) Il continuo classico formalizzato

Nello Specimen Geometriae Luciferae (c. 1695)²⁹, così come nel testo noto

sotto il titolo In Euclidis ΠΡΩΤΑ (c. 1712)³⁰, il continuo entra soprattutto nei

suoi aspetti geometrici, in relazione a due passi delicati del primo libro degli

Elementi di Euclide. Non c’è da meravigliarsi dunque se in queste occasioni

Leibniz si avvicina moltissimo ad una definizione assiomatica.

Il passaggio dello Specimen riguarda la costruzione di un triangolo equilate-

ro su una base assegnata. Come è noto, Euclide ne trova il vertice mediante



— 20—

l’intersezione di due circonferenze di raggio uguale alla base e di centri nei

due estremi di questa (fìg. 4). Nel far ciò, egli assume tacitamente che le due

circonferenze (ognuna delle quali ha il centro sull’altra) debbano necessaria-

mente tagliarsi in qualche punto.

Di natura simile è l’altro passo, dedicato all’esame della definizione eucli-

dea di diametro. A Euclide che aveva detto:

Il diametro del cerchio è una linea retta che passa per il centro, e dell’una

e dall’altra parte è terminata dalla circonferenza³¹

Leibniz obietta che in questa definizione si assume che una retta passante per

il centro di un cerchio debba necessariamente incontrare la circonferenza. In

ambedue i casi entra in gioco una proprietà che non deriva da nessun postula-

to esplicito, e che per la sua natura deve far intervenire i caratteri delle rette e

delle circonferenze in quanto continui. È appunto a queste proprietà che Leib-

niz fa riferimento nella sua dimostrazione.

La definizione leibniziana del continuo è ancora una volta assai vicina a

quella aristotelica. Dove Aristotele, pensando evidentemente ad un continuo

unidimensionale, aveva detto:

continue sono le cose le cui estremità sono una sola cosa³²,

Fig. 4.

— 21—

Leibniz precisa nello Specimen:

Continuum est totum, cujus partes cointegrantes (seu quae simul sumtae

toti coincidunt) habent aliquid commune, et quidem si non sint redundantes

seu nullam partem communem habeant, sive si aggregatum magnitudinis

eorum aggregato totius aequale est, tunc saltem habeant communem aliquem

terminum³³.

Come le analogie, sono altresì evidenti le differenze rispetto al testo ari-

stotelico, in particolare nel significato da attribuire al termine parte. Per Aristo-

tele, una parte è il risultato di una divisione; essa può avere un’estremità in

comune con un’altra parte, ma non sovrapporsi ad essa. Al contrario, Leibniz

prevede esplicitamente la possibilità di una tale sovrapposizione, ed anzi sem-

bra insinuare che questo è il caso più usuale. In ogni caso, la nozione leibnizia-

na di parte sembra molto vicina, pur con tutte le cautele che sono necessarie

in questo tipo di traduzioni, alla moderna nozione di sottoinsieme.

Più tradizionale è invece la definizione del continuo che troviamo nei

ΠΡΩΤΑ, dove si esclude esplicitamente la possibilità di sovrapposizione:

Porro ad continuum duo requiruntur, unum ut duae quaevis ejus partes

totum aequantes habeant aliquid commune, quod adeo pars non est; alterum

ut in continuo sint partes extra partes, ut vulgo loquuntur, id est ut duae ejus

partes assumi possint (sed non aequantes), quibus nihil insit commune, ne

minimum quidem³⁴.

In realtà più che a un cambiamento di punto di vista la differenza tra le

definizioni risponde piuttosto a ragioni di esposizione. Infatti, mentre nello

Specimen Leibniz si interessa precipuamente alla dimostrazione euclidea, nei

ΠΡΩΤΑ egli si preoccupa di sistemare logicamente le definizioni di Euclide, e

dunque dà una definizione di continuo che più si presta ad introdurre l’impor-

tante nozione di sezione, che egli definisce subito dopo come l’intersezione

delle due parti. Analogamente, la seconda proprietà del continuo (in termini

moderni che in esso esistano parti disgiunte) gli serve per escludere gli ango-

li.

Avendo così definito il continuo, Leibniz può colmare la lacuna nella

dimostrazione euclidea. Ed infatti egli prosegue (fig. 5):

Et proinde si ab uno transeundum sit in aliud continue, non vero per

saltum, necesse est ut transeatur per terminum illud communem, unde de-

monstratur, quod Euclides tacite sine demonstratione assumsit in prima primi,

duos circulos ejusdem plani, quorum unus sit partim intra partim extra alte-

rum, sese alicubi secare, ut si circulus unus describatur radio AC, alter radio



— 22—

BC, sintque AC et BC aequales inter se et ipsi AB, manifestum est aliquid B

quod in una circumferentia DCB est, cadere intra circulum alterum ACE, quia

B est ejus centrum, sed vicissim patet D, ubi recta BA producta circumferen-

tiae DCB occurrit, cadere extra circulum ACE, itaque circumferentia DCB,

cum sit continua et partim reperiatur intra circulum ACE partim extra, ejus

circumferentiam alicubi secabit³⁵.

Una generalizzazione è immediata:

Et in genere, si linea aliqua continua sit in aliqua superfìcie, sitque par-

tim intra partim extra ejus superficiei partem, hujus partis peripheria alicubi

secabit. Et si superficies aliqua continua sit partim intra solidum aliquod par-

tim extra, necessario ambitum solidi alicubi secabit. Quodsi sit extra tantum,

vel intra tantum, et tamen peripheriae vel termino alterius occurrat, tunc eum

dicitur tangere, hoc est intersectiones inter se coincidunt³⁶.

A questo punto, come è suo solito, Leibniz cerca di trasformare la sua

definizione in un calcolo (fig. 6):

Hoc autem aliquo calculi genere etiam exprimere possumus, ut si alicujus

extensi pars sit Y et unumquodque punctum cadens in hanc partem Y vocetur



— 23—

uno generali nomine Y, omne autem punctum ejusdem extensi cadens extra

earn partem vocetur uno generali nomine Z, adeoque totum extensum extra

illam partem Y sumtum vocetur Z, patet puncta in ambitum partis Ycadentia

esse communia ipsi Y et ipsi Z seu partim posse appellari Y et Z, hoc est dici

posse_aliqua Y esse Z et aliqua Z esse Y. Totum autem extensum utique ex

ipsis Y et Z simul componitur seu est Y ⊕ Z, ut omne ejus punctum sit vel Y

vel Z, licet aliqua sint Y et Z. Ponamur jam aliud dari extensum novum, verbi

gratia AXB existens in extenso proposito Y + Z, et extensum hoc novum

vocemus generaliter X, ita ut quodlibet ejus punctum sit X, patet ante omnia

omne X esse vel Y vel Z. Si vero ex datis constet aliquod X esse Y (verbi

gratia A quod cadit intra Y et rursus aliquod X esse Z (verbi gratia B quod

cadit extra Y adeoque in Z), sequitur aliquod X esse simul et Y et Z.... Ut

igitur consecutionem in pauca contrahamus: Si sint continua tria X, Y, Z et

omne X sit vel Y vel Z, et quoddam X sit Y, et quoddam X sit Z, tunc

quoddam X erit simul Y et Z. Unde etiam colligitur, X ⊕ Y novum aliquod

continuum componere, quia quoddam Y est Z seu quoddam Z est Y.³⁷

Lungo le stesse linee si snoda l’argomentazione dei ΠΡΩΤΑ In primo luo-



— 24—

go Leibniz si preoccupa di completare la definizione euclidea, dimostrando che

una linea retta passante per il centro incontra la circonferenza:

sequitur hoc facile ex nostris rectae definitionibus quibuslibet. Hinc cum

circulus sit finitus, recta autem produci possit ad distantiam quantamvis, uti-

que partim intra partim extra circulum in plano cadet. Porro sequitur ex natu-

ra continuitatis, omne continuum, quod est partim intra partim extra figuram,

cadere in ejus terminum. Nam continui duae partes quaevis totum aequantes

habent aliquid commune, etsi partem communem non habeant. Sint ergo duae

partes rectae, una intra circulum, altera extra circulum. Hae habent punctum

commune. Id punctum etiam commune est tum circulo, quia est in parte intra

circulum cadente, tum parti plani rectam continentis extra circulum jacenti,

quia est in parte extra circulum jacente. Quidquid autem duobus plani hujus

partibus est commune, id in communi earum sectione est, nempe in Periphe-

ria³⁸.

Segue quindi la generalizzazione a figure arbitrarie:

Haec conclusio generalius enuntiari potest de quavis figura plana, in

quam recta cadit, imo de omni plano vel solido terminato, seu de omni figura

intus sibi simili, nempe recta, quae est intra planum terminatum vel intra solidum termina-

tum, utrinque producta, ambitum ejus in duobus punctis secat³⁹.

Infine la riduzione a calcolo (fig. 7):

Operae autem pretio erit, hanc demonstrationem Calculo situs nonnihil

accomodare, ut ei paulatim assuescamus. Planum per peripheriam circuli divi-

ditur in duas partes X et Y, unam X circulum, alteram Y extra circulum.

Peripheria autem erit X et Y seu locus omnium punctorum, quae simul sunt

X et Y. Rectaautem ab uno termino producta sit Z, ejus una pars, quae intra

circulum, est Z et X, quae extra circulum, est Z et Y. Punctum ergo utrique

commune (ob natura continuitatis) est Z et X et Y; ergo est X et Y; ergo est

in X et Y seu in peripheria⁴⁰.

Alla luce delle dimostrazioni leibniziane possiamo riprendere in esame la

definizione di continuo, in modo da eliminare quelle che ad un lettore moder-

no possono sembrare delle evidenti incongruenze.

Prese alla lettera infatti, ambedue le definizioni di continuo sono ovvia-

mente prive di senso, almeno se si interpreta il termine leibniziano parte nel

senso di sottoinsieme arbitrario. Bisogna invece intendere qui un insieme chiu-

so, come ha anche osservato H. Breger in un suo recente scritto:

in der Terminologie der modernen Mathematik impliziert diese Defini-



— 25—

tion, daß für Aristoteles und Leibniz… ein Kontinuum stets eine abgeschlosse-

ne Menge ist⁴¹.

In realtà si può e si deve dire di più: non solo il continuo, ma ogni parte

di esso (e più in generale ogni figura geometrica) si deve considerare come

comprendente il suo contorno; in termini moderni, la geometria leibniziana è

una geometria di insiemi chiusi. Peraltro questa non è una peculiarità del pen-

siero leibniziano: una parte contiene sempre le sue estremità, ed è solo in que-

sto senso che si possono interpretare le definizioni aristoteliche del continuo e

del contiguo, come pure le discussioni che a tali definizioni si riallacciano.

Una volta precisato questo punto, possiamo tradurre la definizione leibni-

ziana in linguaggio moderno senza pericolo di operare forzature altro che ter-

minologiche :

Un insieme chiuso X è un continuo se, presi comunque due insiemi chiusi Y e Z tali

che

X ⊂ Y ⋃ Z ; X ⋂ Y ≠ Ø ; X ⋂ Z ≠ Ø



— 26—

risulta

X ⋂ Y ⋂ Z ≠ Ø

Non è allora difficile vedere che questa definizione equivale a quella

moderna di insieme connesso, di modo che il continuo classico leibniziano è

un insieme chiuso connesso.

L’identificazione della nozione aristotelica (e leibniziana) di parte con

quella moderna di insieme chiuso; o meglio: l’aver stabilito che per Leibniz

come per Aristotele ogni insieme contiene il suo bordo, può servire a far luce

su molti paradossi del continuo e del moto. Questi possono sorgere solo per-

ché la continuità del tempo implica che i periodi nei quali l’oggetto che varia

si trova nei due stati contrapposti (la vita e la morte, la vicinanza e la lonta-

nanza) abbiano in comune un estremo, un istante nel quale si sarebbe sia vivi

che morti, sia vicini che lontani.

A ben vedere, lo stesso meccanismo soggiace alle dimostrazioni geometri-

che che abbiamo appena riportato. Il punto in cui la retta incontra il cerchio

appartiene sia a questo che alla regione del piano fuori di esso. In questo caso

però Leibniz, e noi con lui, non coglie una contraddizione: quando si passa

dall’incompatibilità dei contrari ontologici vita-morte, vicino-lontano, all’op-

posizione moderata dei termini geometrici interno-esterno, l’identità degli

estremi che nel primo caso era fonte di paradosso, diventa nel secondo la solu-

zione del problema.

Di conseguenza, non è più necessario introdurre quello sdoppiamento

dell’istante-punto che aveva permesso il superamento delle aporie del moto:

nel continuo formalizzato di Leibniz non c’è posto né necessità di punti infini-

tamente vicini.

c) Il continuo iperdenso

Superfluo nella geometria classica, il continuo con infinitesimi non è

ancora sufficiente per le necessità del calcolo differenziale.

I punti consecutivi del continuo con infinitesimi non si confondevano in

uno solo, anche se si trovavano nello stesso luogo. Il segmento CD da essi

generato (fig. 2) non era di conseguenza nullo, ma più piccolo di ogni grandez-

za assegnabile; in breve: un infinitesimo, la cui grandezza non aggiungeva nul-

la a quella delle rette finite AC ed AD, che restano «aequales, similes et con-

gruae». Questa proprietà degli infinitesimi sarà una caratteristica del calcolo

leibniziano, e la troveremo enunciata più volte, come ad esempio dal marchese

de l’Hôpital, nella cui Analyse des Infiniment Petits diverrà un assioma:

— 27—

On demande qu’on puisse prendre indifféremment l’une pour l’autre

deux quantités qui ne diffèrent entr’elles que d’une quantité infiniment petite:

ou (ce qui est la même chose) qu’une quantité qui n’est augmentée ou dimi-

nuée que d’une autre quantité infiniment moindre qu’elle, puisse être considé-

rée comme demeurant la même⁴²,

e dallo stesso Leibniz:

aequalia esse puto, non tantum quorum differentia est omnino nulla, sed

et quorum differentia est incomparabiliter parva; et licet ea Nihil omnino dici

non debeat, non tamen est quantitas comparabilis cum ipsis, quorum est diffe-

rentia. Quemadmodum si lineae punctum alterius lineae addas, vel superficiei

lineam, quantitatem non auges. Idem est si lineam quidem lineae addas, sed

incomparabiliter minorem. Nec ulla constructione tale augmentum exhiberi

potest. Scilicet eas tantum homogeneas quantitates comparabiles esse, cum

Euclide lib. 5 defin. 5 censeo, quarum una numero, sed finito, multiplicata,

alteram superare potest. Et quae tali quantitate non differant, aequalia esse

statuo, quod etiam Archimedes sumsit, aliique post ipsum omnes⁴³.

Il richiamo ai classici, Euclide ed Archimede, è sostanzialmente retorico:

in realtà l’introduzione di quantità infinitesime non si compie sul continuo

classico, ma su quello della geometria algebrica di Viète e Descartes. È in

questo continuo numerico, che già i geometri francesi avevano ampliato con le

radici (i numeri surdi), che si vanno stipando via via le nuove grandezze. Si

procede così per successivi ampliamenti dagli interi positivi a quelli negativi,

alle frazioni, ai numeri irrazionali:

cum subtractio irrita est, numeri prodeunt negativi; cum divisio irrita est,

numeri fracti; cum extractio irrita est, numeri surdi. Idemque est de quantita-

tibus, quod de numeris. Haec succedanea vere satisfaciunt et exacte, exhiberi-

que etiam in natura actu ipso possunt⁴⁴.

A queste grandezze ormai classiche, Leibniz ne aggiunge altre:

Dantur et quantitates transcendentes, ipsis ut ita dicam surdis surdiores,

quae tamen in Geometria et natura actu ipso exhibentur.

Dantur et quantitates inassignabiles, eaeque vel infinitae, vel infinite par-

vae seu infinitesimae, eaeque rursus varii gradus. Quae etsi per se non prosint,

prosunt tamen non raro ad quantitates assignabiles per inassignabilium amba-

ges inveniendas; et omnino in omni transcendentia intervenit aliqua conside-

ratio infiniti aut infinitesimi⁴⁵.

— 28—

Il legame tra le nuove grandezze infinitesime e quelle algebriche della

geometria cartesiana è qui immediato: nel continuo senza fondamenti assioma-

tici di Viète e di Descartes si insinuano senza traumi le grandezze trascendenti

e quelle infinitesime. Se le prime lo rendono completo, le ultime ne fanno un

continuo iperdenso, in cui ogni punto-numero è circondato da innumerevoli

altri infinitamente vicini.

Tali sono i due estremi generati dalla sezione del continuo; e da essi pos-

siamo partire per esaminare l’immagine geometrica del terzo continuo leibni-

ziano.

La sezione è alla base dell’idea della retta tangente a una curva. Infatti il

punto per il quale si vuole tirare la tangente determina una sezione della cur-

va, e si sdoppia in due punti infinitamente vicini tra loro. La tangente non

sarà dunque che la retta che congiunge questi due punti, poiché

tangentem invenire esse rectam ducere, quae duo curvae puncta distan-

tiam infinite parvam habentia jungat⁴⁶.

Questo modello non è ancora sufficiente per le esigenze del calcolo, e

verrà abbandonato quando gli sviluppi di questo richiederanno costruzioni più

complesse. In effetti, se è vero che la struttura del continuo che ne risulta

ammette la possibilità di grandezze infinitesime, è anche vero che esse entrano

in maniera troppo uniforme per essere utilizzabili. Non sono necessarie infatti

solo delle grandezze infinitamente piccole; occorre anche e soprattutto che

esse siano paragonabili tra loro in modo che, come dice Leibniz, uno zero sia

più grande di un altro. Inoltre si deve poter operare su di esse con le regole

formali delle operazioni aritmetiche: sommarle, sottrarle, moltiplicarle tra loro

e con altre grandezze finite.

Di conseguenza, ogni punto ha bisogno non di un solo altro punto che gli

sia infinitamente vicino, ma di un’infinità di tali oggetti, situati a delle distan-

ze più o meno grandi, anche se tutte infinitamente piccole: il microcosmo

deve somigliare al macrocosmo.

Si viene così a creare una struttura iperdensa del continuo, nella quale

ogni punto è circondato da una nuvola di altri punti distinti ma infinitamente

vicini l’un l’altro (una monade, per usare il termine un po’ fuorviant84e ma certa-

mente espressivo di Robinson)⁴⁷, che determina la struttura differenziale della

retta. In questa nuvola si svolgono tutte le operazioni del nuovo calcolo infini-

tesimale; è solo alla fine di queste che, eliminati gli infinitesimi, essa si solidi-



— 29—

fica di nuovo in un punto euclideo, consentendo di esprimere i risultati in

termini finiti.

Il punto (o se si preferisce la monade) del calcolo infinitesimale si rivela in

tal modo un’entità complessa: ciò che è privo di grandezza non è necessaria-

mente privo di struttura⁴⁸.

Tracce di questo continuo iperdenso sono presenti anche prima dell’in-

venzione del calcolo; ad esempio nella definizione di punto che Leibniz dà

nella Theoria motus abstracti (1673):

Punctum non est, cujus pars nulla est⁴⁹, nec cujus partes non consideran-

tur⁵⁰; sed cujus extensio nulla est, seu cujus partes sunt indistantes, cujus

magnitudo est inconsiderabilis, inassignabilis, minor quam quae ratione, nisi

infinita ad aliam sensibilem exponi possit, minor quam quae dari potest⁵¹.

E più oltre:

linea qualibet, ducta a centro ad circumferentiam, circulo commensurabi-

lis, seu circumductione sua circuli genitrix, est sector minimus perpetuo cres-

cens, sed intra inextensionem⁵².

In questo punto strutturato, ma al di qua dell’estensione, si trovano i dif-

ferenziali del calcolo leibniziano, o meglio i valori successivi delle variabili.

La nozione di variabile che emerge dal calcolo di Leibniz è stata descritta

da H. Bos in un suo importante lavoro⁵³, al quale rimandiamo per i dettagli,

limitandoci a riassumerne le conclusioni che toccano più da vicino il nostro

tema. Per Leibniz e per i suoi seguaci («the practitioners of the Leibnitian

calculus», per usare un’espressione di Bos) una variabile assume una successio-

ne arbitraria ma assegnata di valori, le differenze tra i quali sono infinitesime:



— 30—

queste differenze, o differenziali, sono anch’essi una variabile della quale si

possono prendere le differenze (che così saranno le differenze seconde della

prima variabile), e così via.

The sequences of ordinates, abscissas etc. now consist of infinitely many

terms. Successive terms of these sequences have infinitely small differences…

In the practice of Leibnitian calculus, the variable is conceived as taking only

the values of the terms of the sequence. Thus the conception of a variable and

the conception of a sequence of infinitely close values of that variable, come

to coincide⁵⁴.

A questa analisi aggiungeremo solo una considerazione: gli infiniti valori

della successione che finisce per coincidere con la variabile, si situano tutti

intra inextensionem. I valori della variabile, le differenze, le differenze delle diffe-

renze, e via sminuzzando, si muovono sempre all’interno del punto strutturato

ma inesteso del continuo iperdenso leibniziano. E se il linguaggio e le idee del

calcolo differenziale possono essere ricavati come un’estrapolazione dalla teo-

ria delle successioni numeriche, dunque finite, è perché il macrocosmo delle

grandezze finite e il microcosmo degli infinitesimi sono essenzialmente iso-

morfi. Ogni punto ha una nuvola di parti distinte ma non distanti, che rispec-

chiano quelle del continuo macroscopico; è questa struttura locale che contie-

ne le proprietà differenziali del continuo⁵⁵.

Ma se il continuo macroscopico si ritrova in quello microscopico, allora

quest’ultimo deve avere anch’esso una struttura iperdensa, nella quale ogni

punto ha una nuvola locale di infinitesimi. Si potrebbero così introdurre delle

strutture differenziali di secondo ordine, poi di terzo e così di seguito, corri-

spondenti agli ordini di infinitesimo definiti da Leibniz.

Ma qui l’immaginazione è temperata dalla reticenza della ragione, timoro-

sa di perdersi in queste regioni ramificate. Abbandonerò dunque questa strada,

e concluderò questo intervento con alcune considerazioni sull’integrazione.

Come è noto, l’integrale (o la somma, come la chiamava Leibniz) ha ori-

gine nelle ricerche di Cavalieri sulla quadratura delle figure geometriche. Per

Leibniz, tali quadrature non sarebbero che la somma di un’infinità di quantità

infinitesime, corrispondenti alle aree elementari dei rettangoli di base dx e di

altezza y (fig. 8).

— 31—

Considerata dal punto di vista del nostro modello di continuo, tale opera-

zione è priva di senso: sommando delle quantità infinitamente piccole non si

uscirebbe mai dalla struttura locale del punto, e dunque non si arriverebbe mai

ad ottenere l’area che si voleva calcolare.

Il fatto che Leibniz e i suoi seguaci pensino all’area in termini di somma,

in apparente contraddizione con l’immagine del continuo che abbiamo deli-

neata, ci dice che non si devono prendere queste immagini per quello che non

sono e non possono essere, e cioè per delle definizioni o degli assiomi.

Ciò detto, non bisogna neanche cadere nell’eccesso opposto, e considerar-

le alla stregua di semplici figure retoriche. Infatti, se è vero che Leibniz consi-

dera l’integrale come una somma, è altrettanto vero che, contrariamente a

quanto faceva Fermat⁵⁶, e implicitamente Cavalieri, tali somme non vengono

mai eseguite. Quando dalla manipolazione e dalla trasformazione degli integra-

li si passa al loro calcolo effettivo, si procede considerando questa «somma»

come già fatta e studiandone le proprietà locali. E poiché differenziando si

ritrova la funzione che si voleva sommare, l’integrale si otterrà non già tramite

un calcolo diretto sovente impossibile, ma invertendo l’operazione di deriva-

zione. Poco più avanti, esso sarà addirittura definito come l’inverso dell’opera-



— 32—

zione di differenziazione, perdendo così anche i legami formali con le somme

di infiniti termini⁵⁷.

L’integrazione si riduce dunque alla differenziazione; la struttura globale

alla locale. Come Leibniz aveva detto altrove a proposito delle notazioni,

anche nella scelta delle immagini la preferenza va a quella che è più aderente

alla vera natura delle cose. Una natura che queste stesse immagini hanno

contribuito a creare.