La nouvelle Analyse Géométrique

Leibniz a essayé tout au long de sa vie de poser les fondements d’une

Analysis Situs différente de l’Algèbre cartésienne. Les équations auraient réduit

au langage de l’Algèbre une partie de la Géométrie: celle qui étude les magni-

tudes des lignes, des figures et des corps. Mais il resterait une autre partie,

celle qui tient aux lieux géométriques et aux méthodes de recherche d’Appol-

lonius. La Geometria Situs reste pour Leibniz indépendante des relations quanti-

tatives, voire de la Géométrie des magnitudes. Il faut donc construire un nou-

veau système de signes, la Caractéristique Géométrique, dans le but d’exprimer

les relations de position des objets géométriques entre eux par le moyen des

symboles non algébriques qu’il commence à inventer, après une Analyse des

notions géométriques. Ce projet, déjà formulé en 1676, est commencé en 1679.

On a montré ailleurs¹ que ce genre de recherches ont poussé Leibniz vers la

moderne Topologie. Plusieurs propriétés topologiques (intérieur, extérieur,

frontière, connexion, etc.) ont été définies et analysées dans les fragments leib-

niziens concernant l’Analysis Situs. Parmi elles, la notion de continu.

Pour le présent exposé on a choisi quelques fragments inédits où Leibniz

s’applique à définir la notion de continu géométrique. Ces travaux comportent

des voies de recherche très différentes que celles qui ont été suivies par Leib-

niz lors de sa découverte du Calcul Infinitésimal. Quoique les résultats obtenus

soient secondaires par rapport aux essais concernant le Calcul des Différences

et le Calcul Intégral, ces fragments nous montrent des méthodes semblables à

celles de la Théorie des Ensembles, de même que des idées tout à fait remar-

quables pour le XVII^e siècle.

L’Analyse des notions comme méthode de recherche

Avant de faire le commentaire du contenu de ces manuscrits, il faut tenir

compte de la méthode de recherche utilisée par Leibniz lors qu’il s’agissait de

construire la Characteristica Situs, et non la Caractéristique des magnitudes, dont

l’Arithmétique, l’Algèbre et le Calcul Différentiel sont les parties les plus

développées chez Leibniz. La Characteristica Situs vise à une symbolisation des

relations qualitatives en Géométrie (être dans, être dehors, être semblable, être

connecté à, être voisin à, etc.) en faisant abstraction des propriétés quantita-

tives. Le fragment LH XXXV, I, 14, Bl. 78^r, inédit daté vers l’année 1695

selon le Kronologischer Katalog du Leibniz-Archiv de Hanovre, établit cette distinction d’une manière très claire:

In hoc Calculo Situs, literae A, B non magnitudines sive numéros, sed

puncta vel punctorum loca designabunt; et loco aequationum, determina-

tiones, loco proportionum, similitudines adhibentur².

Cette différence n’est sans conséquences quant au sujet considéré dans cet

exposé. L’infini appartient au domaine des magnitudes et des nombres au lieu

que le continu se rapporte aux formes, aux qualités, voire à la Topologie, par

opposition à la Géométrie Métrique. On n’a aucun besoin de la notion de

nombre ni de celle de quantité pour essayer de définir le continu géométrique :

il s’agit plutôt d’une question concernant la Géométrie Qualitative que Leib-

niz envisage de construire par le moyen de son Analysis Situs.

A son tour, la méthode de recherche est différente. L’objectif final reste la

Characteristica Situs, c’est à dire la formalisation, par le moyen de lettres et de

signes spécifiques, des relations de position entre les objets géométriques. Mais

il faut d’abord analyser les notions concernées par la Geometria Situs: l’Analysis

Situs précède la Characteristica Situs. Ces deux genres de recherches, de même

que les démonstrations qui sont menées à terme avec les nouveaux caractères,

composent la Geometria Situs.

Comment accomplir l’analyse des notions qualitatives de la Géométrie, et

tout d’abord celles de lieu, situs, ligne, surface, corps, angle, etc. ?

Leibniz a énoncé³ une méthode précise pour mener à terme ce genre

d’analyse. Il s’agit d’une méthode générale, valable pour chacune des parties

de la Caractéristique universelle : par conséquent, elle doit aussi être valable

pour construire la Characteristica Situs. On peut résumer cette méthode de la

manière suivante:

1. Il faut analyser les termes de chacune des propositions géométriques, et

notamment des axiomes, des notions communes et des définitions enoncées

par Euclide au début de chaque livre des Eléments.

2. Il faut poser de nouvelles définitions, plus simples et plus parfaites,

pour les termes déjà définis par Euclide. Il faut, en plus, proposer des défini-

tions pour les termes non définis, mais utilisés tout au long des démonstrations

géométriques. Lorsqu’on trouve dans les Eléments quelques définitions impar-

faites, il faut s’essayer avec des idées différentes. Par exemple, au lieu de la

définition du point donnée par Euclide, et considérée par Leibniz comme fau-

tive du point de vue logique, on peut considérer, parmi d’autres, la suivante:

Punctum est quod in extenso simplicissimum est⁴.

Les requisita de la notion de point seraient, suivant cette définition, ceux

d’extension et simplicité; il faudrait, à son tour, analyser les requisita possibles pour ces deux notions, et ainsi de suite.

L’Analyse des notions est valable au fur et à mesure qu’elle nous permet

de trouver une chaîne de définitions nouvelles et plus utiles pour la démon-

stration. Leibniz est conscient de la pluralité des définitions possibles pour une

seule notion:

Ejusdem definiti multae possunt esse definitiones⁵.

Il s’agit donc de trouver un ensemble ou système de définitions nouvelles

qui réduisent, par exemple, les notions de point, droite, plan et espace à une ou

deux notions plus générales: en 1679 Leibniz aura succès dans ce projet-là, car

il est arrivé, après plusieurs essais où l’on prenait comme notions fondamen-

tales quelques autres, à définir ces quatre notions en termes de congruence. Quel-

ques ans plus tard on le voit accomplir des recherches en partant de la notion

de similitude, de même que de la relation d’homogénéité. On se tromperait si l’on

prend quelqu’un de ces essais comme expression de la véritable pensée de

Leibniz en Géométrie. Il faut bien tenir compte du caractère d’essai de ce

genre d’écrits, bien que quelques définitions reviennent souvent: on y peut

supposer le trait d’hypothèses stables chez Leibniz.

Il n’a jamais publié ce genre de recherches et, après l’échec de sa lettre à

Huygens le 10 septembre 1679, on n’en trouve que très peu de mentions dans

sa correspondance avec des mathématiciens. On ne peut pas, par conséquent,



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lui attribuer une ou autre option définitive pour un tel système de définitions.

Parmi ses manuscrits on ne trouve pas un essai qu’on pourrait considérer com-

me celui où l’on exprime les fondements de la géométrie leibnizienne. Mais on

y trouve invariablement le même projet et la même méthode pour y aboutir.

L’Analysis Situs terminée, on aurait découvert un système de notions plus sim-

ples et plus générales qui nous permettrait définir chacune des notions utili-

sées par les géomètres antérieurs. La méthode analytique nous permet accom-

plir des progrès dans la recherche de notions plus simples que celles que nos

anciens nous auraient fourni.

• Lorsqu’on serait arrivé à réduire toutes les notions fondamentales
  
  d’une certaine Géométrie (par exemple celle d’Euclide) aux nouveaux fonde-
  
  ments, on peut commencer à introduire les nouveaux signes: l’Analysis Situs fait
  
  place à la Characteristica Situs. Chez Leibniz on trouve plusieurs systèmes de
  
  signes géométriques⁶, qui parfois nous aident à dater ses manuscrits. Mais les
  
  notations géométriques, à son tour, sont hypothétiques et provisoires. Il faut
  
  montrer leur utilité en essayant de démontrer les théorèmes et les faits géomé-
  
  triques déjà connus par le moyen des nouveaux symboles.
• La dernière phase consiste donc à exprimer par le moyen des signes et
  
  des caractères non algébriques les raisonnements qui nous auraient permis
  
  démontrer, en suivant les conceptions des géomètres antérieurs, les propriétés
  
  et les théorèmes connus jusqu’à présent. Et ce qui reste le plus important chez
  
  Leibniz: il faut combiner les nouveaux caractères dans le but de produire des
  
  nouveaux problèmes, des nouvelles définitions et des nouveaux théorèmes.
  
  Une notation (une Caractéristique) montre son utilité lorsqu’elle exprime dans
  
  le nouveau langage ce qui était déjà connu et, surtout, lorsqu’elle nous permet
  
  de poser de nouvelles questions et d’établir des démonstrations plus simples et
  
  plus belles. En reprenant le mot de Lakatos, la découverte des faits nouveaux
  
  et surprenants en Géométrie reste la marque qui discerne la découverte d’une
  
  nouvelle Caractéristique Géométrique chez Leibniz.

L’analyse de la notion de continu

Leibniz applique cette méthode à l’analyse des notions telles que le situs,

l’extension, la ligne, la voie, etc.: ce qui le conduira vers la notion de continu. Il

s’essaie à une telle analyse des termes plusieurs fois pendant sa vie; et on peut

remarquer des progrès accomplis quant à la considération du continu.

Le 1^er août 1679, par exemple, lorsqu’il écrit son premier brouillon de la

Characteristica Geometrica du 10 août⁷, il définit la Géométrie comme «Scientia

extensi»⁸. A son tour, la notion d’extension peut être analysée si l’on a recours

à la notion de continu:

Extensum autem est totum continuum cuius partes sunt coexistentes⁹.

On trouve plusieurs fois cette définition d’extension parmi les écrits de

Leibniz. Au contraire que chez Descartes ou chez Spinoza, on peut bien s’es-

sayer à analyser la notion d’extension en décelant, par exemple, ces quatre

requisita: tout, partie, continu et coexistence.

Première conclusion: pour Leibniz, et cela déjà en 1679, le terme continu

nomme un genre dont l’extension n’est que l’une des espèces. Conséquence

immédiate, suivant la logique aristotélicienne de termes dont la réduction aux

Calculs logiques Leibniz essayait à l’époque: la Science du continu, si quel-

qu’un arrive à la produire, sera plus générale que la Géométrie, qui se réduit à

la Science de l’extensum. Bien sûr: le tout, la totalité, est encore plus général que

le continu. Si l’on veut analyser la notion de continu il faut donc se ramener à la

relation tout/parties.

Que dire de la coexistence? Une deuxième conclusion est claire: en plus

du continu géométrique (dont les formes plus connues sont les lignes, les sur-

faces et les corps géométriques) existe un autre continu, déterminé par la non-

coexistence des objets. Il s’agit, bien sûr, du temps, qui n’est pas objet de la

Géométrie, malgré qu’il soit, tout comme l’espace géométrique, une espèce du

continu. La Science du continu enveloppe donc et la Géométrie et la Dynami-

que, voire la science de l’espace immobile et la science du mouvement dans le

temps. La question du continu n’appartient seulement à la Géométrie, ni

même plus à la ligne droite (R, en termes modernes), mais autant à l’espace

qu’au temps. Le fragment LH XXXV, I, Nr. 14, Bl. 99, dont la date n’est pas

connue, exprime d’une manière très claire cette conception leibnizienne du

continu:

Extensum est continuum coexistentium seu in quo plura coexistunt. Tem-

pus etiam continuum est sed non coexistentium, sic et Motus.

L’analyse de la notion de non-continu: l’angle comme exemple

En 1679 Leibniz est conduit vers la notion de continu par deux autres

voies de recherche. La première prend comme objet d’analyse l’une des

espèces du continu, la ligne, pour essayer d’en tirer des propriétés générales

valables pour le genre par la voie de l’induction:

Via autem nihil aliud est quam locus continuus successivus. Et via puncti

dicitur Linea¹⁰.

La ligne est une espèce, assez particulière, du continu. Pour essayer d’ana-

lyser la notion de continu on peut chercher ce qui correspond à cette notion

dans la ligne, et notamment dans la droite. Leibniz laisse de côté, d’une façon

provisoire, les autres espèces du continu (le temps, le mouvement, les surfaces,

les corps) et s’essaie à la seule analyse des lignes continues, en énonçant la

propriété suivante:

Via est continuum quaelibet eius pars extrema habet cum alia anteriori

atque posteriori parte communia¹¹.

Cela va lui permettre de donner une première définition du continu, sui-

vant cette voie de recherche:

Continuum est cuius partes habent terminum communem¹²,

mais il faut tenir compte, pour comprendre bien la méthode de travail de

Leibniz, qu’il ne s’agit pas d’une définition isolée, mais du début d’une chaîne de

définitions:

Continuum est cuius partes habent terminum communem. Extensum est

continuum cuius partes simul existunt. Punctum est quod terminus extensi est,

partem autem non habet. Linea est quod partes habet quarum termini com-

munes sunt puncta. Superficies est quod partes habet, quorum termini com-

munes sunt lineae. Corpus est quod habet partes quorum termini communes

sunt superficies¹³.

Leibniz semble être satisfait d’un tel ensemble de définitions en 1679:

plusieurs fragments de cette année nous montrent la même définition du con-

tinu:

Continuum est (totum) cuius partes habent terminum communem¹⁴.



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On peut donc conclure que la première voie de recherche conduit Leib-

niz en 1679 vers une analyse possible de quelques concepts géométriques (con-

tinu, extension, point, ligne, surface et corps), qu’on réduirait aux principes

suivants: tout, partie, terme, commun, dont les combinaisons nous permettent

de définir chacune des notions géométriques précédentes. L’intérêt d’une telle

analyse est plutôt philosophique. Les requisita qu’on a trouvé sont encore trop

généraux et, par conséquent, il faut essayer de changer la voie initiale, si l’on

veut obtenir des résultats plus intéressants pour la science géométrique. Leib-

niz n’introduit jamais les caractères que lorsqu’il croit être arrivé au point

d’analyse juste pour l’objet en question.

Si l’on considère maintenant la deuxième voie de recherche, caractérisée

par l’étude de la notion de non-continu par le moyen de son espèce angle, il

faut mentionner le fragment suivant, assez important pour notre objet:

Magnitudo est continuum, quod habet situm; Angulus autem continuum

non est. Porro ad continuum duo requiruntur, unum ut duae quaevis ejus

partes totum aequantes habeant aliquid commune, quod adeo pars non est;

alterum ut in continuo sint partes extra partes, ut vulgo loquuntur, id est ut

duae ejus partes assumi possunt (sed non aequantes), quibus nihil insit com-

mune, ne minimum quidem. Ita rectae AB [voir fig. 1] duae partes assumi

possunt AC et BD, nihil plane quod ipsi rectae insit commune habentes, ne

punctum quidem. Sed duae quaevis partes aequantes, ut AC et BC, commune

habent, nempe C. At anguli AEB tales partes sumi nequeunt, nam AEC et

BED anguli [voir fig. 2], qui sunt ejus partes, saltern habent punctum E com-

mune; imo vero revera Anguli in ipso sunt puncto, vel saltern ad ipsum, cum

idem sit angulus, quantulaecumque sint rectae, sitque adeo nihil aliud quam

inclinatio exeuntium linearum, uti velocitas spectatur in statu mobilis loco suo

exire jam tendentis, etsi nullos adhuc fecerit progressus¹⁵.

Une droite AB peut être divisée en deux parties AC et BC (ou AD et DB)

dont l’union reste l’ensemble AB, mais dont l’intersection n’est point vide, ni

Fig. 1 Fig. 2

même plus une partie, mais un point: C (ou D); et cela pour chaque partition

de AB en deux parties complémentaires.

La ligne droite jouit encore d’une autre propriété, qui permet de la dis-

cerner de l’angle. Une droite AB permet le choix de deux parties (par exemple

AC et DB) dont l’intersection est vide. Au lieu que, dans l’angle AEB, si l’on

prend deux sub-angles quelconques, par exemple AEC et DEB, son intersec-

tion n’est jamais vide : le point de discontinuité E appartient (il est terme com-

mun) à chacun des sub-angles de l’angle AEB. Leibniz essaie donc de ca-

ractériser les points de discontinuité, et par conséquent le non-continu, par le

moyen de techniques qu’il faudrait ramener aujourd’hui à la théorie des

ensembles et à la théorie des partitions.

Il est certain qu’il n’arrive jamais à la définition topologique contempo-

raine du continu. Sous le nom «continu» il a fait des recherches plus proches à

l’analyse des notions actuelles de compacité et surtout de connexion. Les deux

fragments suivants nous en fournissent un exemple:

60: Inter duo quaevis congrua assumi possunt infinita alia congrua, nam

unum in locum alterius servata forma sua transire non posset nisi per con-

grua

61: Hinc a quolibet puncto ad quolibet punctum duci potest linea. Nam

punctum puncto congruum est.

62: Hinc et a quolibet puncto per quolibet punctum duci potest linea.

63 : Linea duci potest quae transeat per puncta quotcunque data.

64: Eodem modo ostendetur per lineas quotcunque datas transire posse

superficiem ...¹⁶.

ou, bien:

Linea est puncti via, seu locus continuus successivus. A quovis puncto ad

quodvis, via est. A quovis puncto ad quodvis per quodvis via est. A puncto

uno ad aliud lineae diversae duci possunt. Esto a puncto A ad punctum B

linea AB. Jam extra AB sit punctum C, dabitur via nova ACB¹⁷.

La connexion par arcs est très clairement exprimée, autant dans le frag-

ment de 1679 que dans celui de 1714: ce genre de formulations est constant

parmi les fragments géométriques de Leibniz. Il s’agit d’axiomes, implicites à

l’époque, dont les géomètres avaient constamment recours tout au long de

leurs démonstrations. L’analyse leibnizienne des notions, et notamment de

celle du continu, lui a permis de trouver et de formuler ce genre de présuppo-

sitions, trop générales pour en être conscient à l’époque, mais que pour Leib-



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niz constituent autant de questions appartenant à la Géométrie qualitative

qu’il a nommé Geometria Situs.

Il ne s’agit donc de chercher chez lui un précurseur de la définition topo-

logique actuelle du continu. Son rapport à la Topologie est plus profond et

concerne sa méthode et son langage: tous deux non habituels à l’époque.

Une dernière remarque, assez importante par rapport au titre du présent

exposé : on a constaté dans les fragments mentionnés, et on en pourrait apporter beaucoup plus, qu’il est possible une analyse de la notion de continu tout à

fait indépendante de la considération de l’infini, et en général des magnitudes.

On va terminer en soulignant ce dernier point, à l’occasion d’une nouvelle

voie de recherche des fondements de la Géométrie chez Leibniz.

La notion de transformation continue chez Leibniz

On a déjà établi que le temps et le mouvement, en plus de la ligne et des

objets géométriques en général, constituent d’autres espèces de continu, dont

les parties ne sont plus coexistantes. Le continu se montre aussi comme

mouvement, et notamment comme succession.

Leibniz a suivi cette autre voie de recherche, en considérant le continu

par rapport au mouvement, mais sans avoir recours aux quantités ni aux ma-

gnitudes. Le paragraphe 60 du fragment mentionné en note 16 nous donne un

premier exemple de la clarté de Leibniz lorsqu’il s’agit de définir ce qu’on

appelle aujourd’hui transformation continue, voire homéomorphisme. Mais on

en trouve des fragments encore plus précis, comme le passage inédit et daté en

1691:

Duorum Statuum diversorum unus ex alio fieri potest per mutationem

continuam. Si diversis illi status sint similes inter se, mutatio continua talis

esse poterit ut transeat per meros status similes extremis et ea transibit per

omnes status similes intermedios, seu minus diversos ab extremis quam

extremi sunt inter se; et quidem si simplicissima est non nisi per solos inter-

medios alioqui transibit plus semel per eundem quod non esse opus mox pate-

bit. Mutatio continua potest esse et similis, etsi sit per non similia, quod fit, si

transitus ab A ad E per C similis transitioni ab A ad C per B et a C ad E per

D et ita porro subdividendo: quo posito necessarium est status per quos tran-

situr esse intermedios seu minus diversos ab extremis quam extremi inter se,

alioqui nunquam absolvetur transitus. Si mutatio continua sit similis secundum

unam assumptionem, ut si sit mutatio ABCDEFGHL, et sit AEL ~ ACE ~

ABC et ita porro, erit ABC ~ BCD.

Mutatio similis seu uniformis, et similium si praeter extrema adhuc per

unum transit simile, transit per mera similia intermedia, intermedia inquam

seu minus distantia ab extremis quam haec inter se. Hoc enim praestat omnis

mutatio uniformis. Mutatio determinata inter similia et uniformis per similia,

ac proinde vicissim mutatio uniformis per similia, est unica seu determinata.



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In dissimilibus non semper datur determinata mutatio, v. gr. ex quadrato in

circulum concentricum; imo nec uniformis. Datur tamen determinata mutatio

in dissimilibus, si omnia determinantia in statu, a quo et in statu ad quem

singula singulis sint similia et respondentia in respondentia mutentur muta-

tione uniformi per similia, sint eadem utrobique, proportio servetur. Ita circuli

determinata est mutatio in Ellipsin datam, determinatam voco mutationem

cum determinata sunt per quae fit transitus¹⁸.

On peut voir que les recherches leibniziennes sur la notion de mutatio con-

tinua comportent des conséquences pour la Géométrie, mais aussi pour la Phi-

losophie, notamment en ce qui concerne le principe de continuité du système

de Leibniz et l’isomorphisme entre macro- et microcosme. Si l’on considère

seulement l’exemple proposé à la fin du passage antérieur, celui de la transfor-

mation continue du cercle en ellipse, la thèse fondamentale affirme l’existence

d’un état intermédiaire entre deux figures comme celles-là; et cela à chaque

moment de la transformation géométrique, dont les origines appartiennent à la

Géométrie Perspective.

Deuxième affirmation: entre deux figures semblables il existe toujours

une transformation continue qui projette l’une sur l’autre. Mais il peut de

même exister un tel genre de transformation entre deux figures non sembla-

bles, s’il existe une correspondance biunivoque entre elles (en termes leibni-

ziens: respondentia in respondentia mutentur).

L’hétérogénéité entre le cercle et l’ellipse, par rapport à la géométrie clas-

sique, peut être dépassée si l’on accepte les axiomes de continuité dont Leibniz

va faire le principe de la Géométrie, et dont l’expression la plus simple reste la

notion de mutatio continua.

Leibniz essaie même d’introduire quelques signes pour caractériser et

définir la notion de mouvement continu. Le succès d’une telle tentative reste

très relatif, mais il est frappant de suivre tout au long de ses essais géométri-

ques l’invariabilité de son projet d’exprimer par le moyen de signes non algé-

briques, mais géométrico-ensemblistes, quelques notions qu’à l’époque per-

sonne n’essayait d’étudier sans l’aide du langage de l’Algèbre ou celui du Cal-

cul Infinitésimal. Même dans ses recherches visant la définition de la mutatio

continua on ne trouve presque jamais un rapport entre les notions d’infini et de

continu. Leibniz est convaincu de la possibilité d’analyser la notion de mouve-

ment continu ayant recours à d’autres techniques, en plus de celles qui pro-

viennent du Calcul Infinitésimal. Il faut accomplir une analyse qualitative du

continu et dans ce but on n’a pas besoin du langage infinitésimal: celui-là



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dépend de la Géométrie des magnitudes, quoiqu’infinies. Mais il existe chez

Leibniz un autre genre de recherche, assez peu connu parmi les historiens de

la science et des mathématiques, dont l’importance méthodologique, concep-

tuelle et philosophique reste très grande.

Il est vrai que les résultats obtenus dans la quête d’une Géométrie quali-

tative ont été bien plus minces que ceux que Leibniz lui même a remporté en

faisant usage du langage de l’Algèbre ou des techniques d’intégration et de

différentiation. Mais il faut tenir compte de la nouveauté du projet de la Charac-

teristica Situs, à l’époque du plein essor de la Géométrie Métrique. L’influence

de ce genre de recherches leibniziennes est restée plutôt philosophique; l’iso-

morphisme entre le microcosme et le macrocosme devient fondé et certain à

l’aide de ses recherches géométriques. Mais il s’agit alors d’une autre espèce de

continu, celui de la matière et du temps, et non plus du continu géométrique,

le seul qu’on a considéré dans cet exposé.